Zur Riemannschen Metrik. (Q1464606)

Wenn in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit mit dem Linienelement \(G(dx_\nu)=g_{\mu\nu}dx_\mu dx_\nu\) von einem Punkt \(x_\nu^{(0)}\) aus \(\infty^1\) geodätische Linien gezogen werden, die eine Fläche bilden, so heißt sie eine ``geodätische Fläche''. Nun hat schon F.~Schur (1886) gezeigt, daß auf jeder geodätischen Fläche \(\infty^2\) geodätische Linien dann und nur dann liegen, wenn die Grundform konstante Krümmung hat. Der Verf. untersucht zunächst, wann die von einem bestimmten Punkt \(x_\nu^{(0)}\) auslaufenden geodätischen Flächen je \(\infty^2\) geodätische Linien enthalten und findet für eine \(n\)-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit die notwendige und hinreichende Bedingung dafür darin, daß die Grundform bei der \(\dfrac {n(n-1)}2\) gliedrigen Gruppe der Drehungen um die betreffende Stelle invariant bleibt oder analytisch ausgedrückt: Es sei \(F(x_\nu)=g_{\mu\nu}^{(0)}x_\mu x_\nu\), wo \(g_{\mu\nu}^{(0)}\) die Werte der \(g_{\mu\nu}\) im Punkt \(x_\nu^{(0)}\) sind, so muß die Grundform die Gestalt \(G(dx_\nu)=P(F)F(dx_\nu)+Q(F)F^2(x_\mu/dx_\nu)\) sein, wo \(F(x_\mu/dx_\nu)\) die Polarform von \(F(x_\nu)\) bedeutet. Der Verf. zeigt dann auf rein gruppentheoretischem Wege, daß aus dem Erfülltsein dieser Bedingung an zwei verschiedenen Stellen, ihr Erfülltsein im ganzen Raum folgt. Daraus folgt aber die Unabhängigkeit der Krümmung von der Richtung an jeder Stelle und daraus, wie schon F.~Schur gezeigt hat, die Konstanz der Krümmung im ganzen Raum. Schließlich zeigt der Verf., daß der letztere Satz sich am einfachsten aus denjenigen Identitäten zwischen den Komponenten \(K_{\mu\nu\varrho\sigma}\) des Riemann-Christoffelschen Tensors ergibt, die für \(n=4\) die Energie-Impulsgleichungen der Einsteinschen Theorie bilden und daß diese Identitäten sich auf die dreigliedrigen Identitäten zwischen den Jacobischen Klammerausdrücken zurückführen lassen.