Über eine kanonische Form der quadratischen Differentialausdrücke. (Q1464611)

Bekanntlich läßt sich eine allgemeine quadratische Differentialform \(f=\sum a_{ik}dx_idx_k\) (für \(n\) Variable \(x_i\)) auf die kanonische Gestalt \(\sum\limits_{i=1}^hdy_i^2\) bringen, wo \(0<h\leqq\dfrac{n(n-1)}2\). Die charakteristische Invariante \(h\) heißt die Klasse von \(f\). Der Verf. führt eine andere Art von Kanonisierung durch. Vermöge einer Variabelntransformation wird man \(n\) von den \(\dfrac{n(n+1)}2\) willkürlichen Funktionen \(a_{ik}\) beliebige Werte, z. B. Null beilegen können. Macht man insbesondere alle \(a_{ii}=0\), so zeigt sich, daß jedes \(x\) der Transformation noch eine willkürliche Funktion von \(n-1\) unabhängigen Variabeln enthält. Daraufhin lassen sich die noch übrigen \(a_{ik}\) (\(i\neq k\)) weiter normieren. Seien die \(a_{ik}\) als Potenzreihen gegeben, so sollen möglichst viele Koeffizienten dieser Potenzreihen verschwinden. In der Tat kann von den Reihengliedern jeder Ordnung \(K\) eine bestimmte, von \(K\) abhängige Anzahl zum Verschwinden gebracht werden. Man gelangt dadurch zu Ausdrücken, die mit dem Krümmungstensor und verwandten Gebilden eng zusammenhängen. Vorab wird die Hilfsaufgabe gelöst, eine quadratische Form \(F=\sum a_{ik}dx_idx_k\) mit \textit{konstanten} Koeffizienten in die ``Produktform'' \(\sum x_ix_k\) linear zu transformieren. Dies geschieht mittels der klassischen kanonischen Darstellung beider Formen als Quadratsummen. Die Lösung der Aufgabe wird geometrisch gedeutet: Die Gleichung \(F=0\) stellt im \(R_{n-1}\) eine \(F_2\) dar. Zu einem \(n\)-Eck werde das polare \(n\)-Eck konstruiert. Die Verbindungslinien entsprechender Ecken treffen sich dann und nur dann in einem Punkte, wenn die Verbindungskanten je zweier Ecken des einen \(n\)-Ecks inzident sind mit den entsprechenden Schnitträumen, die aus den von je zwei der übrigen Ecken konstruierten Wänden des andern \(n\)-Ecks gebildet werden. Die Fälle \(n=3\), 4 sind bekannt. Für die vorliegenden Zwecke kommen solche \(n\)-Ecke in Betracht, von denen das eine der \(F_2\) ein-, das andere umbeschrieben ist. Nunmehr wird der allgemeine Ausdruck \(J\), wo die \(a_{ik}\) analytische Funktionen in der Umgebung eines Punktes \((x)=(c)\) seien, auf die Produktform transformiert vermöge neuer Variabeln \(x'\). Die Bestimmung der \(x\), als Funktionen der \(x'\) führt auf ein System von \(n\) nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, das stets eine Lösung besitzt. Der Beweis erfolgt durch Einführung geeigneter neuer Variabeln, unter Bezugnahme auf einen bekannten Satz der Frau Kowalewski. Das Ergebnis stimmt damit überein, daß die Form \(f\) mit \(a_{ii}=0\) infinitesimale Transformationen gestattet. Daß bei diesen Problemen immer der Kowalewskische Fall eintritt, beruht darauf, daß die Anzahl der verfügbaren abhängigen Variabeln gleich der Anzahl der bestimmt zu wählenden (hier verschwindenden) Funktionen ist. Nunmehr wird die erhaltene Produktform weiter normiert, und zwar der Reihe nach für die Glieder nullter, erster, \dots Ordnung der obigen Potenzreihen. Zu dem Behuf wird die erforderliche Gesamtsubstitution \(S\) eindeutig in eine Kette von Einzelsubstitutionen zerlegt, die den einzelnen Ordnungen entsprechen. Die Ausführung liefert schließlich Ausdrücke, die mit dem Krümmungstensor und den aus ihm durch kovariante Differentiation abgeleiteten Tensoren zusammenhängen, die Christoffel zur Entscheidung der Äquivalenzfrage benutzt hat. Im übrigen sei auf die inhaltreiche Abhandlung selbst verwiesen.