Sur les équations générales de la mécanique. Le théorème de d'Alembert et celui du travail virtuel. (Q1464766)

Der Aufbau der klassischen analytischen Mechanik läßt in einigen wesentlichen Punkten noch gewisse wichtige Fragestellungen offen. Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen führt zwar zu den Bedingungen des Gleichgewichts im Falle von reibungslosen Reaktionskräften, wenn dieselben von der Zeit unabhängig sind; die Gültigkeit der so entstehenden Gleichungen im allgemeineren Fall ist aber auch dann noch nicht geklärt, wenn dort -- was nicht immer zutrifft -- ein Gleichgewichtszustand tatsächlich existiert. Ferner wird für einseitige Bedingungen mitunter (vgl. Appell, Traité de Mécanique rationnelle, 3. Aufl., I, S. 279) auch bei allgemeinen Koordinaten der dann keineswegs mehr zwingende Schluß gebraucht, daß bei einer Ungleichheitsverschiebung die bindenden Kräfte aufhören und so den Beitrag Null zur virtuellen Arbeit liefern. Es gilt also, im allgemeinsten ``reibungslosen'' Fall die klassischen Methoden derart zu ergänzen, daß dann das Prinzip der virtuellen Verschiebungen und das d'Alembertsche Prinzip als Spezialfälle erscheinen. Ein System von n Punkten mit zunächst kartesischen Koordinaten \(x_1,\ldots,z_n\) sei nun den folgenden allgemeinsten Bedingungen reibungsloser Bewegung unterworfen: \[ \begin{aligned} & f_i(x_1,\ldots,z_n,t)=0 \qquad (i=1,\ldots,p_1); \tag{1} \\ &\sum (A_i\dot{x}+B_i\dot{y}+C_i\dot{z}) = D_i \qquad (i=1,\ldots,p_2), \tag{2} \end{aligned} \] d. h. auch, für die virtuellen Verschiebungen (mit \(\delta t = 0\), was freilich einer stillschweigenden neuen Bedingung gleichkommt): \[ \begin{aligned} & \sum\left(\dfrac{\partial f_i}{\partial x}\delta x + \dfrac{\partial f_i}{\partial y}\delta y + \dfrac{\partial f_i}{\partial z}\delta z\right) = 0 \qquad (i=1,\ldots,p_1); \tag{\(1^*\)} \\ &\sum (A_i\delta x+B_i\delta y+C_i\delta z) = 0 \qquad (i=1,\ldots,p_2), \tag{\(2^*\)} \end{aligned} \] ferner den einseitigen Bedingungen: \[ \begin{aligned} & \sum\left(\dfrac{\partial g_i}{\partial x}\delta x + \dfrac{\partial g_i}{\partial y}\delta y + \dfrac{\partial g_i}{\partial z}\delta z\right) \geqq 0 \qquad (i=1,\ldots,p_3); \tag{\(3^*\)} \\ &\sum (L_i\delta x+M_i\delta y+N_i\delta z)\geqq 0 \qquad (i=1,\ldots,p_4), \tag{\(4^*\)} \end{aligned} \] mit gegebenen \(g_i(x_1,\ldots,z_n,t)\); \(L_i, M_i, N_i\). Alsdann können die berühmten Lagrangeschen Überlegungen mit unbestimmten Faktoren \(\lambda_1^{(1)},\ldots,\lambda_i^{(4)}\) wörtlich mit dem alleinigen Unterschiede vorgenommen werden, daß zu den entstehenden Gleichungen für die Komponenten der Reaktionskräfte: \[ X' = \lambda_1^{(1)}\dfrac{\partial f'}{\partial x}+\cdots + \lambda_1^{(2)}A_1+\cdots + \lambda_1^{(3)}\dfrac{\partial g_1}{\partial x}+\cdots + \lambda_1^{(4)}L_1+\cdots \tag{5} \] allgemein noch hinzukommt: \[ \lambda_1^{(3)}\geqq 0 \quad (i=1,\ldots,p_3); \qquad \lambda_1^{(4)}\geqq 0 \quad (i=1,\ldots,p_4). \tag{6} \] Ein ähnliches gilt aber auch dann, wenn man es mit ganz allgemeinen Koordinaten zu tun hat, womit die betreffenden Appellschen Schlußfolgerungen gerechtfertigt erscheinen. Allerdings setzt der Verf. als die einseitigen Bedingungen des Problems nicht (3\(^*\)) und (4\(^*\)) fest, aus denen (5) und (6) tatsächlich folgen, sondern allgemeiner und mehr im Anschluß an das Übliche: \[ \begin{aligned} &g_i(x_1,\ldots,z_n,t)\geqq 0 \qquad (i=1,\ldots,p_3); \tag{3} \\ &\sum (L_i\dot{x}+M_i\dot{y}+N_i\dot{z})\geqq P_i \qquad (i=1,\ldots,p_4), \tag{4} \end{aligned} \] aus denen er dann, auch im entsprechenden Fall allgemeinster Koordinaten, die grundlegenden Bedingungen (3\(^*\)), (4\(^*\)) ohne weiteres ableiten zu können meint -- was u. E. selbst mit \(\delta t = 0\) für (3) irrtümlich (nur an den Grenzen der Bereiche \(g_i\) notwendig gültig) ist. Jedenfalls erscheint nun die Klasse der analytisch zugänglichen reibungslosen gebundenen Bewegungen erweitert. Ob ein Gleichgewicht möglich ist, kann hier dadurch entschieden werden, daß bei der Auflösung der entstehenden Gleichungen nicht nur (6) erfüllt sein muß, sondern die Koordinaten \(x_1,\ldots, z_n\) von der Zeit unabhängig ausfallen müssen. Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen erfährt dabei eine einfache Verallgemeinerung: für alle \textit{im Moment} \(t\) möglichen Verschiebungen muß die Arbeit der wirkenden Kräfte Null oder negativ ausfallen.