Zur mathematischen Grundlegung der kinetischen Gastheorie. (Q1464821)

Als schematische Vereinfachung eines in der kinetischen Gastheorie benutzten plausiblen, aber unbewiesenen Satzes -- die Betrachtung dieser schematischen Vereinfachung ist von Hilbert angeregt -- wird folgender Wahrscheinlichkeitssatz bewiesen: Auf einer in zwei Hälften geteilten Strecke von der Länge \(l\) bewegen sich \(n\) Massenpunkte unabhängig voneinander, und zwar geradlinig gleichförmig im Innern, während sie an den Enden der Strecke ihre Bewegungsrichtung umkehren. Die Anfangslagen seien beliebig vorgeschrieben, ferner sei das arithmetische Mittel der Geschwindigkeitsquadrate \[ \frac{v_1^2+\dots +v_n^2}{n}=C^2 \] gegeben. Werden dann alle mit dieser Bedingung verträglichen Wertsysteme von Anfangsgeschwindigkeiten (welche sich durch die Punkte einer Geschwindigkeitskugel darstellen lassen) als gleichberechtigt angesehen, so gilt für die Wahrscheinlichkeit \(W_q(t)\), daß nach Ablauf einer Zeit \(t\) die Anzahl der auf der linken Streckenhälfte befindlichen Massenpunkte von \(\dfrac{n}{2}\) um \(q . n\) oder mehr abweicht, die Abschätzung \[ W_q(t)<\frac{12}{q\cdot \sqrt{n}}\cdot e^{-nq^2}, \] sofern \(q\leqq \frac{1}{8}\) und \(t\geqq \dfrac{l}{\sqrt{2\pi }}\, \dfrac{1}{Cq^2}\) ist. Für den entsprechenden Fall im Dreidimensionalen, wo an Stelle der zweigeteilten Strecke ein zweigeteilter quaderförmiger Kasten (mit reflektierenden Wänden) tritt, wird eine ähnliche Abschätzung ohne die Ausführung der Herleitung angegeben. (VI 1, IV 16.)