Champ isotrope. Sphère fluide hétérogène. (Q1465052)

Schwarzschild hat das Gravitationsfeld einer kugelförmigen Masse, die aus inkompressibler Flüssigkeit besteht, berechnet. Der Verf. behandelt den Fall einer Flüssigkeitskugel variabler Dichte, aber konzentrisch gelagerter Schichten, innerhalb deren jeder die Dichte konstant ist; zuerst betrachtet er eine endliche Anzahl von Schichten und schließlich eine beliebige kugel- symmetrische Dichteverteilung. Setzt man \[ ds^2 = g_4(R)dt^2 - g_1(R)dR^2 R^2(d\vartheta^2+\sin^2\vartheta d\varphi^2), \] wo \(R\) eine solche Funktion von \(r\) ist, daß im leeren Raume die Schwarzschildschen Formeln \(g_4 = 1 - a/R\), \(g_1 = \dfrac{1}{1-a/R}\) gelten, so findet der Verf., wenn die Dichteverteilung durch die willkürliche Funktion \(\delta (R)\) gegeben ist, innerhalb der Kugel für die Gravitationspotentiale: \[ g_1 = R/\omega, \;\omega = R - \varkappa\int\limits_0^R \delta (R)R^2dR, \;g_4=\dfrac{\left(\dfrac{\partial\gamma}{\partial R}\right)^2}{\left(\dfrac{\partial\delta}{\partial R}\right)^2}; \] dabei ist \(\gamma (R)\) die Lösung folgender Differentialgleichung: \[ \dfrac{\partial}{\partial R}\left[\sqrt{\dfrac{R}{\omega}} \dfrac{\partial\gamma}{\partial R}/\dfrac{\partial\delta}{\partial R}\right] = \dfrac{\varkappa}{2}\dfrac{R^{5/2}}{\omega^{3/2}}\gamma . \] Der Druck \(p\) ist durch \[ p = -\delta + \gamma\dfrac{\partial\delta}{\partial R}/\dfrac{\partial\gamma}{\partial R} \] gegeben. Wenn nicht die Funktion \(\delta (R)\), sondern die Zustandsgleichung \(p = f(\delta )\) gegeben ist, ist auch \(\delta\) noch unbekannt, und es tritt noch folgende Differentialgleichung hinzu: \[ \dfrac{1}{\gamma}\dfrac{\partial\gamma}{\partial R} = \dfrac{1}{\delta + f(\delta )}\dfrac{\partial\delta}{\partial R}. \]