Zur arithmetischen Theorie der algebraischen Größen. (Q1465092)

Bezeichnet man mit \(R\) den durch alle ganzzahligen Polynome in \(x_1, \dots, x_n\) erzeugten Körper und mit \(K\) einen in bezug auf \(R\) algebraischen Körper vom Grade \(m\), so steht im Mittelpunkt der Kroneckerschen arithmetischen Theorie der algebraischen Größen die Untersuchung der \textit{Fundamentalgleichung} \(\Phi (x) = 0\), der die \textit{Fundamentalform} \(M = v_1\mu_l +\cdots + v_r\mu_r\) des Körpers genügt. Dabei sind \(v_1,\dots, v_r\) Unbestimmte, \(\mu_1, \dots, \mu_r\) bilden aber eine Basis für die ganzen Grössen von \(K\). Es handelt sich namentlich um die Frage, ob der Teiler der Diskriminante von \(\Phi(x),\) als Form in den \(v\) aufgefaßt, mit der Körperdiskriminante von \(K\) identisch ist oder nicht. Nach den Untersuchungen von Kronecker, Hensel und Mertens blieb noch unentschieden, ob nicht für \(n > 0\) in der Diskriminante von \(\Phi(x)\) Primzahlen aus der Reihe \(2, \dots, m - 2\) als überflüssige Faktoren enthalten sind. Der Verf. beweist nun, daß\ dies in der Tat für jedes \(n > 0\) eintreten kann, so daß\ die Kroneckersche Begründung der Idealtheorie in diesen Fällen versagt. Zugleich wird gezeigt, daß\ insbesondere auch die Kroneckersche Behauptung, daß\ in \textit{Galois}schen Körpern überflüssige Primfaktoren in der Diskriminante von \(\Phi(x)\) nicht vorkommen können, unrichtig ist, und es wird eine Reihe von diesbezüglichen unrichtigen Behauptungen und Beweisen, die in der Literatur vorkommen, berichtigt. Nunmehr werden die Bedingungen, unter denen überflüssige Primfaktoren in der Diskriminante von \(\Phi(x)\) auftreten können, eingehender untersucht. Diese Untersuchung hängt enge zusammen mit gewissen Untersuchungen, die in der klassischen Arbeit von Steinitz über die algebraische Theorie der Körper durchgeführt worden sind. Sodann werden die Methoden entwickelt, um den ganzen in der Diskriminante von \(\Phi(x)\) auftretenden überschüssigen Faktor zu bestimmen. Zu diesem Zweck wird ein \textit{Fundamentalring} von \(K\) untersucht -- die Gesamtheit der Größen aus \(K,\) die sich nach Multiplikation mit einem primitiven Polynom in den \(v\) durch \(M\) ganz rational mit ganzen ganzzahligen Polynomen in den \(x, v\) als Koeffizienten darstellen lassen -- dessen Theorie sich ganz analog zu den bekannten Entwicklungen von Dedekind und Hilbert aufbauen läßt. Endlich werden die Hilbertschen Diskriminantensätze aus der Theorie der Relativkörper übertragen, da die alten Beweise auf der Theorie der Fundamentalgleichung beruhen und nicht verallgemeinerungsfähig sind. Zum Schluß\ wird der Satz bewiesen: \textit{Ist \(\mathfrak K\) der größte in \(K\) enthaltene algebraische Zahlkörper, so gibt es nur endlich viele Primideale in \(\mathfrak K\), die in \(K\) weiter zerfallen.} Der Beweis dieses Satzes beruht seinerseits auf dem folgenden Satz: \textit{Ist \(F(x_i)\) ein absolut irreduzibles Polynom mit Koeffizienten aus einem Zahlkörper \(\mathfrak K\), so gibt es in \(\mathfrak K\) nur endlich viele Primidealteiler, nach denen \(F\) nicht irreduzibel bleibt.}