Über Bewegungsinvarianten. X-XV. (Q1465144)

In Nr. X wird ein Teil der ganzrationalen Bewegungsinvarianten \(I\) einer ternären kubischen Form \(F\) angegeben. Ist \[ F(x, y) = a_{111}x^3 + 3a_{112}x^2y + 3a_{122}xy^2 + a_{222}y^3+ \cdots + a_{333} = 0 \] die Gleichung der durch die Form gegebenen ebenen \(C_3\) in rechtwinkligen Koordinaten \(x, y,\) so handelt es sich um alle \(I\), die sich aus den ersten vier Koeffizienten (einer binären kubischen Form \(f_3\)) allein bilden lassen. Das System dieser \(I\) ist zugleich ein kleinstes vollständiges Invariantensystem einer \(f_3\) für diejenige eingliedrige Gruppe, die ein Punktepaar invariant läßt. Es ergeben sich sieben Irrvarianten mit den Graden 2, 2, 4, 6, 8, 8, 10, 12. Bei der Ableitung wird vielfach Gebrauch gemacht von (den chemischen ähnlichen) ``Strukturformeln'', um die Übersicht über die verwickelten kombinatorischen Anordnungen der Zeichen zu erleichtern. Jede \(I\) von \(F\) überhaupt setzt sich symbolisch aus Faktoren der drei Typen \((abc), (abl)\) und \((a\mid b) = a_1b_1 + a_2b_2\) zusammen, wo \(l = (001)\) die uneigentliche Gerade darstellt. Bei der vorliegenden Aufgabe kommt aber nur der dritte Typus in Betracht. Als Grundlage der Rechnung dient die bekannte Cliffordsche Identität zwischen irgend fünf Größen- oder Symbolreihen; sie dient zu geeigneter Umformung von Irrvarianten \(I.\) Es werden der Reihe nach die Irrvarianten der Grade \(2, 4, 6, \dot s\) untersucht. Die Diskriminante \(D\) von \(f_3\) läßt sich durch die drei ersten Invarianten \(A_2, B_2, A_4\) des Systems einfach ausdrücken: \(D = A_4 - 2A_2B_2 + B_2^2.\) In Nr. XI wird das vollständige System von Bewegungsinvarianten \(I\) für zwei Ebenen \(E_1, E_2\) im vierdimensionalen Raum \(S_4\) aufgestellt. Aus den 20 Koordinaten beider Ebenen lassen sich vier \(I\) bilden. die dann in der Tat ein kleinstes vollständiges System ausmachen; eine derselben ist affin. Dieses System bildet die algebraische Grundlage für die Untersuchung der metrisch interessanten Figur, die von \(E_1, E_2\) mit ihren zwei Neigungswinkeln gebildet wird (s. Nr. XII). Jede \(I\) ist nach dem ersten Fundamentalsatze der symbolischen Methode für Bewegungsinvarianten zunächst aus zwölf gewissen Faktortypen zusammensetzbar. Es kommt dann darauf an, vermöge identischer Umformungen sukzessive Reduktionen eintreten zu lassen, bis man schließlich nur noch mit zwei Faktortypen zu tun hat. In Nr. XII wird die Figur \((E_1, E_2)\) weiter verfolgt. \(E_1\) und \(E_2\) sollen einen eigentlichen Punkt \(S\) gemein haben. Man lege durch \(S\) je eine Gerade \(g_i\) in \(E_i\). Der Winkel \(w\) zwischen \(g_1\) und \(g_2\) erreicht dann ein Maximum \(w_1\) und ein Minimum \(w_2; w_1\) und \(w_2\) sind die beiden ``Neigungswinkel'' von \(E_1\) und \(E_2\), sie sind die Wurzeln einer quadratischen Gleichung, deren Koeffizienten sich durch die vier oben erwähnten \(I\) ganzrational darstellen lassen. Dabei wird zugleich die geometrische Bedeutung des Verschwindens der vier \(I\) ins Licht gesetzt, die sich dann eben als einfache Beziehungen zwischen \(w_1\) und \(w_2\) darstellen lassen. In Nr. VIII war ein volles System von \(I\) für eine Figur des Raumes abgeleitet, die aus zwei Punkten, zwei Geraden und zwei Ebenen besteht. In Nr. XIII wird auf die geometrische Deutung verschiedener dieser Invarianten näher eingegangen. Übrigens erweisen sich von den 123 dort mitgeteilten \(I\) fünf als reduzibel, sodaß\ ein kleinstes System von \(F\) aus 118 Invarianten verbleibt. Diese bilden die algebraische Basis der euklidischen Raummetrik; sie geben alle Verbindungen der Koordinaten von Punkten, Geraden und Ebenen, die bei metrischen Untersuchungen der Figur \(F\) überhaupt vorkommen können. Wir beschränken uns hier auf die Anführung einiger Ergebnisse, die von besonderem Interesse erscheinen. So tritt die Gleichung der Kreispunkte einer Ebene in einfacher Gestalt auf; ebenso der Neigungswinkel zweier Ebenen. Ferner die Gleichung des Rotationsparaboloides, dessen Brennpunkt und Scheiteltangentialebene gegeben sind; die Gleichung der Regelfläche zweiter Ordnung, die gebildet wird von den Normalen der Geraden, die eine feste Gerade treffen; der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene u. s. f. In Nr. XIV wird ein kleinstes vollständiges System von Bewegungsinvarianten \(I\) für vier Grundformen des \(S_4\) aufgestellt; diese sind lineare Formen je einer Reihe von Punkt-, Linien-, Ebenen- und Raumkoordinaten, stellen also, gleich Null gesetzt, einen \(S_2\), eine Ebene, eine Gerade und einen Punkt dar. Das System von \(I\) besteht aus 50 Invarianten, die am Schlusse zugleich mit ihren charakteristischen Anzahlen zusammengestellt werden. Es sind das alle Bildungen, die bei elementargeometrischen Untersuchungen an diesen vier einfachsten linearen Gebilden vorkommen können. Die \(I\) werden zunächst symbolisch aus zwölf Faktortypen aufgebaut, und dann durch identische Umformungen sukzessive weiter reduziert. Das Haupthilfsmittel ist die Methode der ``Reduzenten''; enthält eine Bildung \(I\) ein gewisses Produkt, den Reduzenten, so zerfällt \(I\) in einfachere Invarianten (oder verschwindet). Das Ganze bietet ein instruktives Beispiel für die praktische Verwendbarkeit der Methoden des Verfassers in einem bereits recht verwickelten Falle. Die einfacheren der aufgestellten Invarianten werden in Nr. XV geometrisch gedeutet. Es ergeben sich damit die Formeln, die für die Metrik des \(S_4\) grundlegend sind. Von Interesse sind u. a. die verschiedenen Abstands- und Winkelausdrücke, die Gleichungen der absoluten Maßfläche, des dreidimensionalen Minimalkegels mit gegebener Spitze, ebenso des durch eine Gerade gehenden (degenerierten) Minimalkegels, ferner der Kreispunkte einer Ebene u. s. f. Bei manchen Formeln wäre neben ihrer symbolischen Schreibweise auch die reale erwünscht.