Beweis zweier Sätze von Mac Mahon über die Funktionen \(s_k^{(i)}\). (Q1465171)

Es wird ein einfacher kombinatorischer Beweis für die beiden Formeln von Mac Mahon (Lond. M. S. Proc. 15, 38, 1883-84) gegeben: \[ s_k^{(i)}=c_iV_{k-1}-\left(\begin{matrix} i +1\\1\end{matrix}\right)c_{i +1}V_{k-i-1} +\left(\begin{matrix} i +2\\2\end{matrix}\right)c_{i +2}V_{k- i-2} -\cdots +(-1)^{k-1}\left(\begin{matrix} k\\k-1\end{matrix}\right)c_k, \] \[ s_k^{(i)}-c_1 s_{k-1}^{(i)} +c_2 s_{k-2} ^{(i)} -\cdots + (- 1)^{k-1} c_{k-i}s_i^{(i)}=(-1)^{k-i}\left(\begin{matrix} k\\k- i\end{matrix}\right) c_k. \] Darin bedeuten \(c_1, c_2, c_3, \dot s\) die symmetrischen Grundfunktionen, \(s_k^{(i)}=\sum x_1^{\gamma_1} x_2^{\gamma_2} \dot s x_i^{\gamma_i}(\gamma_1 \dot s, \gamma_i\) positiv ganzzahlig, \(\gamma_1+\gamma_2+ \cdots+\gamma_i = k)\) die Summe aller Produkte \(k\)-ten Grades, die genau \(i\) Wurzeln enthalten und \(V_k = \sum x_1^{\gamma_1} x^{\gamma_2} \dot s x_n^{\gamma_n} (\gamma_1, \gamma_2, \dot s, \gamma_0\geqq 0, \gamma_1 + \gamma_2 +\cdots + \gamma_n= k)\) die vollständige symmetrische Funktion vom Gewicht \(k\). (II 2.)