Reelle kanonische Darstellung der Diedergruppen. (Q1465177)

Es handelt sich darum, die Diedergruppen, die üblicherweise nach F. Klein durch Einheitswurzeln dargestellt werden, durch reelle Substitutionen darzustellen. Das Resultat der Untersuchung kann durch folgenden Satz ausgedrückt werden: Von der Kleinschen Darstellung der Diedergruppen kann man vermöge einer linearen Transformation \(z' = \frac {\alpha z+\beta}{\gamma z+ \delta}\) zu einer reellen Darstellung übergehen, indem man zwei Ecken des Dieders, die auf dem Einheitskreis die Entfernung \( \frac {2k\pi}m\) haben (\(k\) relativ prim zu \(m)\) die Werte 0 und \(\infty\) und einer beliebigen dritten Ecke den Wert 1 zuweist. Die erzeugenden Substitutionen der Gruppe sind dann \( \frac px\) und \(q - x\), worin \(p = c^2, q = 2c \cos \frac {k\pi}m (k =1, 2, \dot s, m - 1)\) ist und die Konstante \(c\) einen der \(m - 2\) Werte \[ \frac{ \sin \frac{\lambda k\pi}m }{ \sin \frac{(\lambda +1)k\pi}m } \;(\lambda =1,2, \dot s, m-2) \] hat. Für \(\lambda=m - 2\) wird \(p = q = 2 + 2 \cos \frac {2k\pi}m.\)