Fibonaccische Polynome und Kreisteilungsgleichungen. (Q1465221)

Es wird ausgegangen von der Substitution \[ z_{n +1} =\left(\begin{matrix} 1&x\\1&0\end{matrix}\right)z_n = \frac{z_n +x}{z_n} =\left(\begin{matrix} 1&x\\1&0\end{matrix}\right)^{n +1}z_0 =\left(\begin{matrix} f_n&xf_{n-1}\\ f_{n-1}&xf_{n- 2}\end{matrix}\right)z_0, \] worin die \(f_n\) ganze ganzzahlige Funktionen von \(x\) sind, die als Fibonaccische Polynome bekannt sind und dem Rekursionsgesetz \[ f{n+1}= f_n + xf_{n-1}, \;f_{-1} = 0,\;f_0 =1 \] genügen. Zwischen den Nullstellen dieser Polynome und den Einheitswurzeln besteht ein enger Zusammenhang: der in dieser Arbeit aufgedeckt wird und der in folgenden Sätzen enthalten ist. 1. \(f_m\) ist durch \(f_n\) teilbar, falls \(m + 1\) durch \(n +1\) teilbar ist. 2. Ist \(f_n\) ein Polynom von geradem Zeiger \(n\), so ist jede Wurzel von \(f_n\) eine Einheit. 3. Jede Wurzel von \(f_n(x) = 0\) ist eine algebraische Zahl eines Kreisteilungskörpers, der von einer \((n +1)\)-ten Einheitswurzel erzeugt wird. Diese algebraische Zahl ist reell und kleiner als \(- \frac 12\). 4. Die Funktion \(f_n(x)\) hat, falls \(n\) gerade ist, \(T(n + 1) -1\) irreduzible Faktoren, bei ungeradem \(n\) jedoch nur \(T(n +1) - 2\) solche Faktoren \((T(n)\) ist die Anzahl aller Divisoren von \(n\)). Ein 5. Satz beschäftigt sich endlich mit der Konvergenz der Zahlenfolge \(z_0, z_1, z_2, \dot s\).