Divisors of numbers and their continuations in the theory of partitions. (Q1465240)

Unter \(a_{n,k}\) versteht der Verf. die Summe \(\sum s_1 s_2 \dots s_k,\) erstreckt über sämtliche Lösungen der diophantischen Gleichung \[ s_1 m_1 + s_2 m_2 + \cdots + s_k m_k = n, \] \(s_\nu, m_\nu\) positiv ganz und die \(m_\nu\) voneinander verschieden. Es wird für \[ A_k=\sum_{n=1}^\infty a_{n,k}q^n \] die folgende symbolische Darstellung bewiesen: \[ 2^{2k}(2k+1)! A_k = (-1)^k \frac {1}{J_1} J(J^2 -1^2)(J^2 - 3^2) \dots (J^2 - (2k -1)^2), \] in welcher nach Entwicklung \(J^r\) durch \[ J_r =1- 3^rq + 5^rq^3 - 7^rq^6 + \cdots, \] mit den Trigonalzahlen als Exponenten von \(q\) zu ersetzen ist. Ähnliche Darstellungen gelten für die weiteren vom Verf. ausführlich untersuchten Reihen \(B, C, D, E, F; B\) ist ähnlich definiert wie \(A = A_k,\) mit dem Unterschied, daß\ an Stelle von \(a_{n,k}\) \[ b_{n,k} = \sum (- 1)^{s_1 +s_2 +\cdots +s_k +k}s_1s_2\dots s_k \] tritt. Bei den Reihen \(C, D\) werden nur solche Zerfällungen von \(n\) zugelassen, bei denen sämtliche \(m_\nu\) ungerade sind, bei \(E, F\) solche, die von der Form \(5r\pm 1,\) bei \(G, H\) solche, die von der Form \(5r\pm 2\) sind.