Détermination des points entiers des courbes algébriques unicursales à coefficients entiers dans l'espace à \(k\) dimensions. (Q1465260)

Die Fragen, welche in dieser Abh. behandelt sind, haben schon zu vielen wichtigen Untersuchungen Anlaß\ gegeben, sowohl seitens des Verf. (vgl. F. d. M. 31, 190 (JFM 31.0190.*), 1960, ferner Nouv. Ann. August 1916 und August 1918) als auch von anderen Seiten, wie Runge (F. d. M. 18, 76 (JFM 18.0076.*), 1887), Hilbert und Hurwitz (ibid. 23, 190, 1891), Poincaré (ibid. 32, 564, 1904) und Thue (ibid. 40, 265, 1909). Während aber in den angeführten Arbeiten die Untersuchung auf die Ebene beschränkt wird, beschäftigt sich Verf. im II. Teil seiner Arbeit mit Kurven in Räumen beliebiger Dimension, nachdem er im I. Teil viele bekannte Resultate vervollständigt oder verbessert hat. Z. B. beweist er folgende Sätze: ``Sei \(f (x, y) = 0\) eine nicht zerfallende algebraische Gleichung vom Grade \(n\geqq 2\) und dem Geschlechte 0 mit ganzzahligen Koeffizienten, die unendlich viele ganzzahlige Auflösungen besitzt und folgende parametrische Darstellung zuläßt: \[ (1)\quad x= \frac {f_2(t)}{f_1(t)}, \;y= \frac {f_3(t)}{f_1(t)}. \] Damit dies eintritt ist notwendig, daß\ der Nenner \(f_1(t),\) falls er nicht konstant ist, den Grad \(n_1 = n\) hat und eine der Formen \[ \alpha (Mt + N)^n, \;\alpha (Mt^2 + Nt + P)^{ \frac n2}. \] Ferner sind dann die gesuchten Auflösungen (außer eventuell solchen, welche den Doppelpunkten der Kurvé und den Werten \(t = \pm \infty\) entsprechen) durch die Werte \(t = p/q\) gegeben, wo \(p, q\) ganzzahlige Lösungen einer der Gleichungen \[ Mp +Nq = \pm \beta, \;Mp^2+ Npq + Pq^2 = \pm \beta \] sind und \(\beta\) eine Konstante bedeutet, welche nur einer endlichen Anzahl von Werten fähig ist''. ` `Die Gleichungen (1) der rationalen nicht zerfallenden Kurven \(n\)-ter Ordnung mit ganzen Koeffizienten, die unendlich viele ganzzahlige Punkte besitzen, können auf solche Form gebracht werden, daß\ \(f_1(t)\) entweder konstant oder gleich \(\alpha_1 (t^2 - \delta)^{ \frac n2}\) wird, wo \(\delta\) kein Quadrat ist; der zweite Fall ist nur möglich, wenn \(n\) gerade ist''.