Abschätzung der Einheiten eines gegebenen algebraischen Körpers. (Q1465333)

Aus dem Existenzbeweis, welchen Dirichlet für Einheiten in algebraischen Zahlkörpern gibt, wird durch genauere Abschätzung ein Intervall bestimmt, dem jedenfalls eine Einheit einschließlich ihrer Konjugierten angehört. Das Resultat ist folgendes: Es sei \(\vartheta\) eine ganze, den Körper \(K\) vom \(n\)-ten Grade erzeugende Zahl, die nebst allen Konjugierten einen Betrag \(\leqq r\) hat. Die elementar-symmetrischen Funktionen seien dem Betrage nach \(\leqq A.\) Dann gibt es eine Einheit \[ \varepsilon = \mu_0 + \mu_1 \vartheta + \cdots +\mu_{n- 1}\vartheta^{n-1}, \] die ganzen rationalen Zahlen \(\mu_i\) dem Betrage nach kleiner als \[ \frac{n^{ \frac n2}}{2^n} (A +1)^{(n-1)^2}\exp \left\{ \frac {4n}{(n +1)^2(n-2)} (1 +r^{2(n-1)})^{n +1} \left[ \frac{4(r^n- 1)}{r-1}\right]^{(n +1)(n +2)}\right\} \] sind. Vgl. hierzu die elegantere Abschätzung von Landau (Gött. Nachr. 1918), der die obere Grenze von \(\varepsilon\) allein als Funktion der Körperdiskriminante und von \(n\) angibt mit einer wesentlich einfacheren Vergleichsfunktion.