Über die Führer von Zahlringen. (Q1465337)

Es ist bekannt, daß\ nicht jedes Ideal eines algebraischen Zahlkörpers Führer eines Ringes in diesem Körper sein kann. Verf. stellt hier zum erstes mal die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür auf. Es wird en gezeigt, daß\ man eine Reduktion auf solche Ringe vornehmen kann, deren Führernormen Primzahlpotenzen sind, und für diese dann folgendes Kriterien abgeleitet: Es sei die rationale Primzahl \(p = {\mathfrak p}_1^{a_1} {\mathfrak p}_2^{a_2}\dot s {\mathfrak p}_n^{a_n}\) und zunächst \(n > 1.\) Damit das Ideal \(f = {\mathfrak p}_1^{e_1} {\mathfrak p}_2^{e_2}\dot s {\mathfrak p}_n^{e_n}\) Führer eines Ringe sei, ist notwendig und hinreichend, daß\ folgende Bedingungen erfüllt sind: Ist \(\mathfrak p_1\) ein Primideal \textit{ersten} Grades, welches in \(f\) aufgeht und die Kongruenz \(e_i \equiv 1 (\text{mod.} a_i)\) erfüllt, so muß\ wenigstens eine der \(n -1\) Ungleichungen \(e_j > \frac {e_i - 1}{a_i} a_j (j \neq i)\) erfüllt sein. Ist endlich \(n =1, p = {\mathfrak p}^e,\) so ist \({\mathfrak p}^e\) stets Führer, wenn \(\mathfrak p\) von mindestens zweitem Grade ist. Ist \(\mathfrak p\) vom ersten Grade, so ist \({\mathfrak p}^e\) dann und nur dann Führer, wenn \(e \not\equiv 1 (\text{mod.} a)\). Falls \(f\) zur Körperdiskriminante prim ist -- wo alsdann die Kongruenzbedingungen trivial sind -- bedeuten die genannten Bedingungen: Bei \(n =1\) ist \(f = {\mathfrak p}^e\) stets Führer, bei \(n > 1\) dann und nur dann, wenn der höchste in \(f ={\mathfrak p}_1^{e_1}\dot s {\mathfrak p}_n^{e_n}\) auftretende Exponent mindestens bei Indizes vorkommt.