Some theorems concerning prime numbers. (Q1465356)

In den 3 ersten Kapiteln wird die Riemannsche Vermutung als wahr angenommen. 1. \(p_n\) bezeichne die \(n\)-te Primzahl. Die bekannte Formel \[ p_{n+1}-p_n = O ( \sqrt{p_n} \log^2 p_n) \] verschärft Verf. zu \(O(\sqrt {p_n} \log p_n).\) 2. Wenn \(q(x)\) die Anzahl der positiven ganzen \(n < x\) ist, für die zwischen \(n^2\) und \((n +1)^2\) keine Primzahl liegt, ist \[ q(x) = O(x^{ \frac 23} \log^3 x). \] 3. \(\psi(x)\) bedeute die Tschebyschefsche Funktion \(\sum_{p^m\leqq x} \log p.\) Dann ist \[ \frac 1x \int_1^x \left| \frac {\psi(t)-t}{\sqrt t}\right| dt=O(1) \] und für jedes wachsende positive \(h(x),\) welches \(= O(x)\) ist, \[ \frac 1h \int_1^{x+h} \left| \frac {\psi(t)-t}{\sqrt t}\right| dt=O \left(\sqrt{ \frac xh}\right). \] 4. Sätze der Arbeit in Math. Zeitschr. 4, 104 werden auf die Dedekindsche Zetafunktion ausgedehnt. Z. B. wird für jeden algebraischen Zahlkörper \(n\)-ten Grades der Grundzahl \(\Delta,\) wenn \(r_1\) die Anzahl der konjugierten reellen Körper, \(h\) die Anzahl der positiven Wurzeln der Funktion bezeichnet, für \[ N(T)- \frac {nT}{2\pi}\left(\log \frac T{2\pi}-1\right)- \frac {\log | \Delta| }{2\pi}T=R(T) \] bewiesen: \[ \lim_{T =\infty} \frac 1T \int_0^T R(v)dv =1- \frac 18 r_1- \frac 12 h. \]