Sur quelques propriétés des nombres transcendants. (Q1465382)

Es sei eine reelle oder komplexe Zahl \(I\) und eine Folge irreduzibler Brüche \(I_n = \frac {P_n}{Q_n}= \frac {p_n +i p_n'}{Q_n}\) (\(p_n, p_n', Q_n\) ganze Zahlen) vorgelegt, derart, daß\ \(\lim_{n =\infty} I_n=I\) ist. Setzt man \[ | I-I_n| =Q_n^{-\lambda_n}, \] so heißt \(I\) eine Liouvillesche Zahl, wenn \(\lim_{n =\infty} \lambda_n = \infty.\) Verf. nennt die Folge der \(I_n\) \textit{vollständig}, wenn zu einer festen positiven Zahl \(\mu\) für alle irreduziblen Brüche \(I' = \frac {P'}{Q'}\neq I_n\) \[ | I-I'| >Q^{\prime-\mu} \] ist. Die zu einer Liouvilleschen Zahl l gehörige vollständige Folge ist mithin bis auf eine endliche Anzahl von Brüchen (die von der Wahl der Zahl \(\mu\) abhängt) wohl bestimmt. Verf. gibt nun eine Reihe auf vollständige Folgen bezügliche Sätze ohne Beweis an. I. Setzt man \[ \mu_n=\lambda_n \frac {\log Q_n}{\log Q_{n+1}}, \] so ist für reelle \(I\) die Folge der \(I_n\) vollständig, wenn \(\mu_n\geqq \vartheta >0.\) Ist ferner \(F(x)\) ein beliebiges ganzzahliges irreduzibles Polynom, so ist außerdem \(I_n' = F(I_n)\) eine vollständige gegen \(I' = F(I)\) konvergente Folge. II. Ist \(N\) eine reelle Liouvillesche Zahl und hat die Gleichung \(x^p = N\) Wurzeln, die selbst wieder Liouvillesche Zahlen sind, so sind diese von der Form \(i^qI, (1 + i) i^qI'\) (\(I, I'\) reelle Liouvillesche Zahlen, \(q = 0, 1, 2, 3).\) Mithin ist für ungerade \(p\) und für \((k, p) =1\) die Zahl \(Ie^{ \frac {2k\pi i}{p}}\) keine Liouvillesche Zahl.