Intuitionistische Mengenlehre. (Q1465391)

Der Verf. hat in einer Reihe von früheren Schriften und Aufsätzen (siehe insbes. F. d. M. 38, 81 (JFM 38.0081.*), 1907; 39, 81, 1908; 43, 111, 1912; 44, 85, 1913; 46, 69, 1916-18) den Standpunkt vertreten ( -- die folgende Formulierung in der dritten Arbeit --), ``1. daß\ das \textit{Komprehensionsaxiom}, auf Grund dessen alle Dinge, selche eine bestimmte Eigenschaft besitzen, zu einer Menge vereinigt werden, (auch in der ihm später von Zermelo gegebenen beschränkteren Form) zur Begründung der Mengenlehre unzulässig bzw. unbrauchbar sei und der Mathematik notwendig eine \textit{konstruktive} Mengendefinition zugrunde gelegt werden müsse; 2. daß\ das von \textit{Hilbert} 1900 formulierte \textit{Axiom von der Lösbarkeit jedes Problems} mit dem \textit{logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten} äquivalent sei, mithin, weil für das genannte Axiom kein zureichender Grund vorliege und die Logik auf der Mathematik beruhe und nicht umgekehrt, der logische Satz vom ausgeschlossenen Dritten ein \textit{unerlaubtes} mathematisches Beweismittel sei, dem kein anderer als ein scholastischer und heuristischer Wert zugesprochen werden könne, so daß\ Theoreme, bei deren Beweis seine Anwendung nicht umgangen werden kann, jedes mathematischen Inhalts entbehren.'' Nach des Verf. Überzeugung ``sind das Lösbarkeitsaxiom und der Satz vom ausgeschlossenen Dritten beide falsch und ist der Glaube an sie historisch dadurch verursacht worden, daß\ man zunächst aus der Mathematik der Teilmengen einer bestimmten endlichen Menge die klassische Logik abstrahiert, sodann dieser Logik eine von der Mathematik unabhängige Existenz a priori zugeschrieben und sie schließlich auf Grund dieser vermeintlichen Apriorität unberechtigterweise auf die Mathematik der unendlichen Mengen angewandt hat.'' Auf Grund dieses Standpunkts oder, wie der Verf. sagt, der ``\textit{intuitionistischen} Auffassung der Mathematik'' hat nun Brouwer in den beiden ersten Arbeiten eine systematische und naturgemäß\ wesentlich konstruktive ``Begründung der Mengenlehre unabhängig vom logischen Satz des ausgeschlossenen Dritten'' durchgeführt. In der dritten Arbeit referiert er selbst darüber und gibt insbesondere einen Überblick über die wesentlichsten Änderungen, die sich bei seiner ``Begründung'' gegenüber der klassischen Mengenlehre ergeben. Auf dieses Selbst-Referat sei auch an dieser Stelle ausdrücklich hingewiesen, so daß\ wir uns hier vielfach kürzer fassen können. Zweierlei wird bei der vorliegenden Begründung besonders in die Augen fallen: 1. Eine Reihe von wesentlichen Sätzen und Aussagen der klassischen Mengenlehre scheiden hier ganz aus oder werden nur in sehr eingeschränktem Umfang aufrechterhalten. 2. Viele wichtige Begriffe werden hier weiter zerlegt und zerspalten. Auch für diejenigen, welche Brouwers Standpunkt nicht teilen -- und dies dürfte wohl die Mehrzahl der heutigen Mathematiker sein -- hat die Brouwersche Untersuchung Bedeutung: einmal wegen der erwähnten; Begriffsanalysen und vor allem wegen der aus der Brouwerschen Untersuchung sich ergebenden, gewissermaßen axiomatischen Erkenntnis, welche Teile der Mengenlehre unabhängig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten gewonnen werden können. Der 1. \textit{Teil} behandelt die allgemeine Mengenlehre. Zugrunde liegt die folgende, nicht gerade leicht zu erfassende Mengendefinition: ``Eine Menge ist ein Gesetz, auf Grund dessen, wenn immer wieder ein willkürlicher Ziffernkomplex (= Zahl) der (unendlichen) Folge \(1, 2, 3, 4, 5, \dot s\) gewählt wird, jede dieser Wahlen entweder ein bestimmtes Zeichen oder nichts erzeugt oder aber die Hemmung des Prozesses und die definitive Vernichtung seines Resultates herbeigeführt, -- wobei für jedes \(n > 1\) nach jeder ungehemmten Folge von \(n-1\) Wahlen wenigstens ein Ziffernkomplex angegeben werden kann, der, wenn er als \(n\)-ter Ziffernkomplex gewählt wird, nicht die Hemmung des Prozesses herbeiführt. Jede in dieser Weise von einer unbegrenzten Wahlfolge erzeugte Zeichenfolge (welche also im allgemeinen nicht fertig darstellbar ist) heißt ein Element der Menge. Die gemeinsame Entstehungsart der Elemente der Menge \(M\) wird ebenfalls kurz als die Menge \(M\) bezeichnet.'' Auf diesen Mengenbegriff baut sich dann ein umfassender Begriff auf, die ``Spezies'', worunter eine Eigenschaft verstanden wird, die nur Mengen oder Elementen von Mengen zukommt, oder eine Eigenschaft von solchen Eigenschaften (in endlich häufiger Iterierung). Bei der nunmehr zuerst vorgenommenen Untersuchung der Kardinalzahlen sind ganz besonders weitgehende Begriffszerlegungen nötig. Beim Abzählbarkeitsbegriff wird zwischen ``abzählbar'' (und ``abzählbar unendlich''), ``zählbar'', ``auszählbar'', ``durchzählbar'', ``aufzählbar'' unterschieden und ebenso stark wird der Äquivalenzbegriff zerspalten. Nur in verhältnismäßig geringem Maße wird die sodann behandelte Theorie der geordneten Mengen modifiziert. Dagegen wird besondere beträchtlich die Theorie der wohlgeordneten Mengen umgestaltet. Die wohlgeordneten Mengen werden nicht (wie bei Cantor) deskriptiv definiert, auf Grund der Eigenschaft, daß\ jede Teilmenge ein erstes Element besitzen soll, sondern konstruktiv, durch Addition von zwei schon bekannten wohlgeordneten Spezies bzw. einer Fundamentalreihe von solchen, also im wesentlichen mit Hilfe der beiden ersten Erzeugungsprinzipien. Infolgedessen bezieht sich hier alles nur auf die Ordinalzahlen der beiden ersten Zahlenklassen. Der 2. \textit{Teil} behandelt die Theorie der ebenen Punktmengen; und zwar zunächst die allgemeineren Dinge, die den Begriff des Grenzpunktes betreffen. Der Bolzano-Weierstraßsche Satz kommt hier in Wegfall; ebenso das Cantor-(Bendixson-)sche Haupttheorem. Nur gewisse Teilaussagen, die in der Richtung des letzten Theorems liegen, bleiben bestehen. Dabei ist es von Interesse, zu beobachten, wie stark hier die Aussagen von der Art der zugrundegelegten Mengendefinition abhängen: Auf Grund einer eingeschränkteren Mengendefinition hat der Verf. noch in Deutsche Math.-Ver. 23, 79, 1914 das Cantorsche Haupttheorem als (vom intuitionistischen Standpunkt aus) ``selbstverst\"ndlich'' bezeichnet, während er jetzt dieses Theorem als ``falsch'' ablehnt. Weiter werden noch die offenen Mengen und die inneren und äußeren Grenzmengen genauer untersucht; auch hier fallen manche aus der klassischen Theorie geläufige und dort fast selbstverständliche Eigenschaften weg (z. B. die Aussage, daß\ die Vereinigung von endlich vielen inneren Grenzmengen wieder eine innere Grenzmenge ist). Nur verhältnismäßig wenig beträchtlich sind die Abänderungen, welche die im letzten Abschnitt behandelte Meßbarkeit und Inhaltstheorie erfährt.