Sur la convergence de certaines séries. (Q1465454)

Durch Benutzung der Polynome, die der Verf. in seinen früheren Untersuchungen (C. R. 169, 166, 221; Ref. vgl. S. 216) eingeführt hat, beweist er folgende Sätze: 1. Es sei \(f (x)\) \(m\)-mal stetig differentiierbar für \(x geqq a, f (x) \to 0\) für \(x\to \infty\) und das Integral \[ \int_a^\infty | f^{(m)}(z)| dz \] konvergent. Dann ist die Reihe \[ \sum_{s =0}^\infty (-1)^s f(x+s) \] gleichmäßig konvergent für \(x \geqq a.\) 2. Es seien \(\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n\) positive Zahlen, \(\Omega = s_1\omega_1 + s_2 \omega_2 + \cdots + s_n \omega_n\) und \(f (x)\) den obigen Bedingungen unterworfen, wobei jedoch an Stelle der Integralbedingung die schärfere \[ f^{(m)}(x) = o(x^{-n-\varepsilon)} \;(\varepsilon > 0) \] tritt. Dann konvergiert die Reihe \[ \sum (-1)^{s_1 +s_2 +\cdots +s_n}f(x+\Omega), \] wobei die Summation über sämtliche nichtnegativen ganzzahligen Wertsysteme \(s_1, s_2, \dots,s_n\) erstreckt ist.