Sur un théorème de Cauchy. (Q1465455)

Nach Cauchy konvergiert und divergiert die Reihe \(\sum_{s =1}^\infty f (s)\) gleichzeitig mit dem Integral \(\int_1^\infty f (x) dx,\) falls \(f\) positiv ist und mit wachsendem \(x\) monoton gegen 0 abnimmt. Dies Theorem wird dadurch erweitert, daß\ 1. die einfache Summe durch eine \(n\)-fache \(\sum_s f (s_1\omega_1 + s_2 \omega_2 + \cdots + s_n \omega_n)\) mit fester, aus positiven Zahlen \(\omega_1, \omega_2, \dots,\omega_n\) tun bestehender Argumentbasis ersetzt und mit dem entsprechenden Integral verglichen wird und daß\ 2. nicht von \(f\) selber, sondern von irgendeiner Ableitung \(f^{(m)}\) angenommen wird, daß\ sie stärker gegen 0 konvergiert als \(x^{-n-\varepsilon}.\) Die Abschätzung der Summe durch das Integral wird bewerkstelligt auf Grund der Eulerschen Summenformel Als Anwendung folgt ein Kriterium dafür, daß\ die Reihen \[ \sum_{n =1}^\infty f(n),\;\sum_{n =1}^\infty f(\psi(n))\cdot \psi'(n) \] gleichzeitig konvergieren und divergieren. (IV 3 A.)