Mittelwertbildung und Reihentransformation. (Q1465471)

Ist \(\sum b_n \equiv \sum (-1)^{n-1}a_n, n =1, 2, \dots,\) eine beliebige konvergente Reihe, sind \(s_n = s_n^{(1)} =a_1-a_2 +\cdots +(-1)^{n-1}a_n\) ihre Teilsummen und wird nun, falls \(p_1, p_2, \dots\) irgendwelche ganze Zahlen \(\geqq 2\) bedeuten, erst \[ s_n^{(2)} = \frac 1{p_1}\left(s_n^{(1)} +s_{n +1}^{(1)} +\cdots +s_{n +p_1-1}^{(1)}\right), \;\left(n =0,1,\dots,;s_0^{(1)} =0\right) \] und dann allgemein \[ s_n^{(k +1)} = \frac {1}{p_k}\left(s_n^{(k)} +s_{n +1}^{(k)} +\cdots +s_{n +p_k-1}^{(k)}\right), \begin{cases} k =2,3,\dots,\\ n =0,1,2,\ldots \end{cases} \] gesetzt (also iterierte Mittel mit jeweils fester Gliederzahl gebildet), so steht die Doppelfolge \[ S = \left(s_n^{(k)}\right)\;(n = \text{ Zeilennummer, }k = \text{Spaltennummer}) \] zur genauen Untersuchung. Neben vielen speziellen Formeln werden vor allem die folgenden Sätze bewiesen: 1. Bilden die \(a_n\) eine positive \(r\)-fach monotone Nullfolge (d. h. die \(a_n\) und ihre ersten \(r\)-Differenzen sollen positiv sein), so streben die Glieder der \(r\) ersten \textit{Spalten} der Matrix \(S\) \textit{alternierend} gegen ihren Grenzwert \(s = \sum (-1)^{n-1}a_n,\) haben also Elemente, die abwechselnd größer und kleiner als \(s\) sind. -- Die absoluten Fehler sind dabei in jeder Spalte höchstens halb so groß\ wie in den vorangehenden. 2. In der ersten \textit{Zeile} von \(S\) stehen, falls alle \(p_k = 2\) sind, die Teilsummen der sogenannten Eulerschen Transformation \(\sum \frac {\Delta^{k-1}a_1}{2^k};\) und diese ist -- bei beliebigen \(a_n\) -- stets konvergent, falls es die Ausgangsreihe ist (und zwar zur gleichen Summe).