Einige Sätze über Mittelwerte. (Q1465474)

Der Gaußsche Satz vom arithmetisch-geometrischen Mittel wird folgendernmaßen verallgemeinert: Es seien: \(a_1, a_2, \dots, a_n\) nichtnegative Zahlen, die nicht alle gleich sind, und man setze \[ a_1' = \frac{a_1 +a_2 +\cdots +a_n}{\left({}_1^n\right)}, \;a_2' =\sqrt{ \frac{a_1a_2 +a_1a_3 +\cdots}{\left({}_2^n\right)}}, \dots, a_n' =\sqrt{a_1a_2\dots a_n}. \] Ähnlich bilde man aus den \(a_\nu'\) die \(a_\nu'',\) usf. Es wird sodann gezeigt, daß\ die Grenzwerte \[ \lim_{k \to \infty}a_\nu^{(k)}\;(\nu = 1, 2, \dots, n) \] sämtlich existieren und einander gleich sind. Es wird auch ein allgemeinerer Satz über Mittelwerte bewiesen.