Mémoire sur les polynomes de Bernoulli. (Q1465515)

Der Verf. verallgemeinert die Bernoullischen Polynorne \(B_\nu(x)\) und die Eulerschen Polynome \(E_\nu(x)\) in der folgenden Weise. Es seien \(\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n\) beliebige reelle oder komplexe Parameter. Man definiere zunächst die Ausdrücke \(B_\nu^{(n)}(\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n) = B_nu^{(n)},\) die als Verallgemeinerungen der Bernoullischen Zahlen aufzufassen sind, durch eine Rekursionsformel, welche in leicht verständlicher Symbolik wie folgt lautet: \[ (B^{(n)} +\omega_n)^\nu-(B^{(n)})^\nu =\omega_n \nu B_{\nu- 1}^{(n-1)}. \] Ferner sei \(B_\nu^{(1)} = B_nu\), \(B_nu\) die \(\nu\)-te Bernoullische Zahl, definiert, wie gewöhnlich, durch \[ (B +1)^\nu-B^\nu =\begin{cases} 0\text{ für }\nu>1,\\ 1\text{ für }\nu =1.\end{cases} \] Dann setze man \(B_\nu^{(1)}(x) = B_nu(x)\), \(B_nu(x)\) das \(\nu\)te Bernoullische Polynom, während \(B_\nu^{(n)} = B_\nu^{(n)}(x\mid \omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n)\) diejenige eindeutig bestimmte Polynomlösung von \[ \Delta_{\omega_n}f(x) = \frac{f(x +\omega_n)- f(x)}{\omega_n} =\nu B_{\nu-1}^{(n-1)}(x\mid \omega_1, \omega_2, \dots,\omega_{n-1}) \] bezeichnet die sich für \(x = 0\) auf \(B_\nu^{(n)}\) reduziert. Die Wichtigkeit dieser Polynome, die in speziellen Fällen bereits von Appell und Barnes untersucht worden sind, zeigt sich bei der Aufgabe, die Differenzengleichung \[ \Delta_{\omega_1,\dots, \omega_n}^n f(x) =\Delta_{\omega_n}\left(\Delta_{\omega_1, \dots,\omega_{n-1}}^{n-1} f(x)\right) =\varphi^{(n)}(x) \] zu lösen, wobei \(\varphi (x)\) ein Polynom \(\nu\)-ten Grades, \(\varphi^{(n)}(x)\) seine \(n\)-te Ableitung bezeichnet. Es ergibt sich \[ f(x + y) =\sum_{s =0}^\nu \frac{B_s^{(n)}(x)}{s!} \varphi^{(s)}(y). \] Die \(B_\nu^{(n)}(x)\) sind symmetrisch in den Parametern \(\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n;\) es ist ferner \(B_nu^{(n)} \omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_n - x) =(-1)^\nu B_\nu^{(n)}(x).\) Die \(B_\nu^{(n)}\) stehen in direkter Beziehung zu \(B_\nu\) durch die Formel \[ B_\nu^{(n)}(\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_n) =\sum \frac{\nu!}{s_1!s_2!\dots s_n!}\omega_1^{s_1}\omega_2^{s_2}\dots \omega_n^{s_n} B_{s_1} B_{s_2}\dots B_{s_n}, \] wo die Summation über sämtliche Wertsysteme \(s_1, s_2, \dots, s_n\) mit \(s_k\geqq 0, \sum_{s_k} = \nu, k =1, 2, \dots, n,\) zu erstrecken ist. Es ist ferner \[ B_\nu^{(n)}(x\mid \omega_1,\omega_2, \dots, \omega_n) =\sum_{s =0}^\nu {\nu\choose s}x^sB_{\nu-s}^{(n)}(\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n). \] Von den zahlreichen Beziehungen, die zwischen den Polynomen \(B_\nu^{(n)} (x)\) bestehen, seien folgende erwähnt: \[ \sum_{s =0}^{m-1} B_\nu^{(n)}\left( x + \frac{s\omega_1}{m}\mid \omega_1, \dots,\omega_n\right) =mB_\nu^{(n)}\left(x\mid \frac{\omega_1}{m},\omega_2, \dots,\omega_n\right), \] sowie eine allgemeinere, die hieraus durch wiederholte Anwendung folgt. Weiter \[ \begin{aligned} \int_0^{m_1}&dt_1 \int_0^{m_2} dt_2 \dots \int_0^{m_n} B_\nu^{(n)}(x +x\omega_1t_1 +\cdots +\omega_n t_n)dt_n\\ &=\sum_{s_1 =0}^{m_1-1}\cdots\sum_{s_n =0}^{m_n-1}(x +s_1\omega_1 +s_2\omega_2 +\cdots +s_n\omega_n)^\nu,\end{aligned} \] \(m_1,m_2,\dots,m_n\) beliebig positiv ganz. Die Eulerschen Polynome \(E_\nu^{(n)}(x) = E_\nu^{(n)} (x\mid \omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n)\) sind zur Behandlung der Differentialgleichung \[ \nabla_{\omega_1,\dots,\omega_n}^n f(x) =\nabla_{\omega_n} \left(\nabla_{omega_1,\dots,\omega_{n-1}}^{n-1} f(x)\right) =\varphi(x), \;\nabla_\omega f(x) =\frac{f(x +\omega) +f(x)}{2} \] gebildet worden. \(E_\nu^{(n)}(x)\) ist diejenige Polynomlösung, welche sich hieraus für \(\varphi (x) = x^\nu\) ergibt. Dann ist allgemein, wenn \(\varphi (x)\) ein beliebiges Polynom \(\nu\)-ten Grades ist, \[ f(x +y) =\sum_{s =0}^\nu \varphi^{(s)}(x) \frac{E_s^{(n)} (y)}{s!}. \] Außerdem werden die Eulerschen Zahlen \(E_\nu\) verallgemeinert, durch Einführung der ganzen rationalen Funktionen \( E_\nu^{(n)}(\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n),\) definiert durch \[ (E^{(n)}+ \omega_n)^\nu + (E^{(n)}-\omega_n)^\nu = 2E_\nu^{(n- 1)},E_\nu^{(1)} =E_\nu, \] wo für die \(E_nu\) \[ (E +1)^\nu +(E-1)^\nu =\begin{cases} 0\text{ für }\nu>0,\\ 2\text{ für }\nu =0\end{cases} \] gilt. Es ergibt sich dann \[ E_\nu^{(n)}(\omega_1, \omega_2,\dots,\omega_n) =\sum_{s_k\geqq \sum_{k =1, 2, \dots,n}s_k =\nu} \frac{\nu!}{s_1!s_2!\dots s_n!} E_{s_1}E_{s_2}\dots E_{s_n} \omega_1^{s_1}\omega_2^{s_2}\dots \omega_n^{s_n}, \] ferner \[ E_\nu^{(n)}(x) =\sum_{s =0}^\nu{\nu\choose s} \frac{E_s^{(n)}}{2^s} \left(x- \frac{\omega_1 +\omega_2 +\cdots +\omega_n}{2}\right)^{\nu-s}. \] Außerdem bestehen Beziehungen zwischen \( B_\nu^{(n)}(x)\) und \(E_\nu^{(n)} (x).\) Weiterhin werden Polynome mit negativen Indizes \(n\) eingeführt, wobei die meisten Formeln ihre Gültigkeit behalten. Es sei noch erwähnt, daß\ die erzeugenden Funktionen dieser Polynome folgendermaßen lauten: \[ \begin{aligned} \frac{\omega_1\omega_2\dots \omega_n t^n e^{xt}}{(e^{\omega_1t}- 1)(e^{\omega_2t}-1)\dots (e^{\omega_nt}-1)}& =\sum_{\nu =0}^\infty \frac{t^\nu}{\nu!} B_\nu^{(n)} (x\mid \omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n),\\ \frac{2^ne^{xt}}{(e^{\omega_1t} +1)(e^{\omega_2t} +1)\dots (e^{\omega_nt} +1)}&=\sum_{\nu =0}^\infty \frac{t^\nu}{\nu!} E_\nu^{(n)} (x\mid \omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n),\end{aligned} \] Der letzte Abschnitt behandelt den Spezialfall, wo alle Parameter \(\omega_i\) gleich 1 sind. Es ist dann z. B. \[ B_n^{(n+1)}(x) = (x-1)(x-2)\cdots (x-n). \] In den zwei ersten Abschnitten leitet der Verf. die bekannten Eigenschaften der gewöhnlichen Bernoullischen und Eulerschen Polynome ab, in einer Weise, die den bisherigen Darstellungen in vieler Beziehung überlegen ist. (II 3.)