Sur l'équation fonctionnelle \(f(x +y) =f(x) + f(y)\). (Q1465570)

Es wird hier, und zwar ohne Benutzung des Auswahlaxioms bewiesen, daß\ jede meßbare Funktion \(f (x),\) die für alle reellen \(x\) und \(y\) der Funktionalgleichung \[ (1)\quad f(x + y) = f(x) + f(y) \] genügt, von der Form \(Ax\) ist, wobei \(A\) eine Konstante ist. Zugleich ist damit (ohne Auswahlaxiom!) gezeigt, daß\ jede unstetige Lösung von (1) (deren Existenz bekanntlich Hamel bewiesen hat) nicht-meßbar sein muß. Zum Zweck dieses Beweises wird zuerst ein an sich interessanter Hilfssatz bewiesen (vgl. auch des Verf. Note Batt. G. 55 [(3) 8], 272, 1917), nämlich: In zwei linearen, meßbaren Mengen \(E_1\) und \(E_2\) von positivem Maß\ gibt es stets zwei Punkte \(a_1\) (in \(E_1\)) und \(a_2\) (in \(E_2\)), deren Entfernungen rational sind. (III.)