Sur un problème de M. Lebesgue. (Q1465576)

Lebesgue hat gelegentlich (Journ. de math. (6) 1, 199, 1905, Fußnote 2) bemerkt: Eine Funktion \(F(x, y),\) die auf jeder Geraden \(x =\) const. und auf jeder stetigen Kurve \(y = f (x)\) von der Klasse \(\alpha = 0\) (also stetig) ist, ist in der ganzen Ebene von der Klasse \(\alpha = 0.\) Und er fügt hinzu, daß\ es nicht bekannt sei, ob diese Aussage auch noch für \(\alpha > 0\) gelte. Sierpiński beweist nun, daß\ dieser Satz für \(\alpha =1\) noch gilt; und ferner, daß\ unter der Hypothese, daß\ die Mächtigkeit des Kontinuums \(\mathfrak c = \aleph_1\) sei, jener Satz bereits für \(\alpha = 2\) nicht mehr gelten kann.