On the limit functions of sequences of continuous functions converging relatively uniformly. (Q1465579)

Eine Folge \(\{ f)n(x)\}\) von Funktionen wird nach E. H. Moore (An introduction to a form of general analysis, The New Haven Mathematical Colloquium 1910) in dem Intervall \(a\leqq x \leqq b\) relativ gleichmäßig konvergent genannt, wenn es eine Funktion \(\sigma (x)\) gibt, so daß\ es zu jedem \(\varepsilon > 0\) ein \(n_\varepsilon\) gibt, derart, daß\ für \(m, n > n_\varepsilon\) die Ungleichung \[ | f_m(x)-f_n(x)| <\varepsilon |\sigma (x)| \] im ganzen Intervall \(a\leqq x \leqq b\) gilt. Fs wird nun vor allem der Satz bewiesen: Wenn eine Folge \(\{f_n(x)\}\) von stetigen Funktionen relativ gleichmäßig gegen eine Limesfunktion \(f (x)\) konvergiert, so liegen die Unstetigkeiten von \(f (x)\) in bezug auf irgendeine perfekte Menge nicht überall dicht in bezug auf diese Menge. Ferner wird eine Art Umkehrung dieses Satzes bewiesen. Den Schluß\ bildet eine Untersuchung der Funktion \[ f(x) =\sum_{n =1}^\infty \frac {1}{2^n} \text{sign}(x-x_n), \] wo \(x_1, x_2, \dots, x_n, \dots\) eine Folge überall dicht liegender Punkte des Intervalls ist. Von dieser einfachen Funktion wird gezeigt, daß\ ihre Fourierreihe sie überall darstellt, aber wegen der Lage ihrer Unstetigkeiten nach dem oben zitierten Satz in keinem Intervall relativ gleichmäßig konvergieren kann.