Les rapports des ensembles parfaits présentant le caractère (A) et des fonctions admettant une dérivée seconde généralisée. (Q1465580)

In zwei vorhergehenden Noten (siehe die Referate auf S. 178. 179) hat der Verf. die perfekten Mengen vom ``Charakter \((A)\)'' definiert und untersucht; hier gibt er eine Anwendung seiner Resultate und beweist den Satz: sei eine perfekte Menge vom ``Charakter \((A)\)'' und \(F(\theta)\) sei eine stetige Funktion; ihr zweiter Differenzenquotient \[ \frac {F(\theta+ u) + F(\theta-u) - 2F(\theta)}{u^2} \] sei mit \(R(\theta, u)\) bezeichnet. Wenn für alle Stellen \(\theta\) von \(P\) und für alle von \(\theta\) unabhängigen positiven und beschränkten \(| u|\) auch \(| R(\theta, u)|\) beschränkt bleibt, dann gilt 1. \(F(\theta)\) besitzt eine Ableitung \(\Phi(\theta)\) in jedem Punkt \(\theta\) von \(P.\) 2. \(\Phi(\theta)\) ist stetig auf \(P\) und die auf \(P\) gebildeten Derivierten von \(\Phi\) sind beschränkt. 3. Wenn außerdem \(F(\theta)\) eine verallgemeinerte 2. Ableitung \[ f (\theta) = \lim_{u\to 0} R(\theta, u) \] besitzt dann hat \(\Phi(\theta)\) auf \(P\) \(f(\theta)\) zur Ableitung, wenigstens in einer auf \(P\) überall dichten Menge von Werten \(\theta.\)