Über halbstetige Funktionen und deren Verallgemeinerung. (Q1465585)

\S\,1 gibt einen überaus einfachen einheitlichen Beweisaufbau für eine Reihe bekannter Sätze. Für beliebige metrische Räume \(R\) wird aus dem Satz von Baire, daß jede halbstetige Funktion Limes einer monotonen Folge stetiger Funktionen ist, ein Einschiebungssatz von Hahn abgeleitet: ``Ist \(g(x)\) unterhalb, \(h(x)\) oberhalb stetig und \(g \ge h,\) so gibt es ein stetiges \(f (x)\) mit \(g\ge f \ge h\)'' und hieraus drei für beliebige metrische Räume zuerst von Tietze bewiesene Sätze, darunter ein für \(n\)-dimensionale Räume schon vorher mehrfach (Lebesgue, de la Vallée Poussin, Bohr; später Brouwer) bewiesener Satz über Ergänzung einer in einer abgeschlossenen Menge stetig gegebenen Funktion zu einer stetigen des ganzen Raumes. In \S\,2 werden für allgemeine Mengen \(R\) Systeme von in \(R\) definierten Funktionen \(f\) unter Heranziehung ihrer Lebesgueschen Mengen (Mengen der Punkte, wo \(f >\) bzw. \(\ge\) einer gegebenen Zahl) betrachtet. Es werden die Limiten konvergenter, und speziell monotoner konvergenter Folgen von Funktionen eines Systems studiert und insbesondere für die Baireschen Funktionsklassen und die zugehörigen Borelschen Mengen weitgehende Verallgemeinerungen der Sätze des \S\,1 entwickelt.