Über partielle und totale Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variablen und über die Transformation der Doppelintegrale. I, II. (Q1465592)

Das Ziel des 1. Teiles dieser Arbeit ist es, die Transformationsformel der Doppelintegrale in durchsichtiger Weise unter möglichst allgemeinen Bedingungen zu beweisen. Zu diesem Zweck wird zuerst die totale Differentiierbarkeit (im Stolzschen Sinne) einer Funktion \(f(x,y)\) untersucht, die in einem beschränkten Gebiet \(G\) einer geeignet erweiterten Lipschitzschen Bedingung genügt; insbesondere wird gezeigt, daß\ eine solche Funktion fast überall in \(G\) total differentiierbar ist. Weiter wird für zwei derartige Funktionen die Funktionaldeterminante untersucht: Es wird bewiesen, daß\ hier die Multiplikationsformel der Funktionaldeterminanten fast überall in \(G\) gilt, wenn noch die \(x,y\) als Funktionen der neuen Veränderlichen \(\xi, \eta\) geeignete Bedingungen erfüllen. Vor allem aber ist für das folgende wesentlich ein allgemeiner Satz über den Zusammenhang von Vergrößerungsverhältnis und Funktionaldeterminante: Die in \(G\) definierten, jener erweiterten Lipschitzschen Bedingung genügenden Funktionen \(u = f (x, y), v = g(x, y)\) vermitteln eine eindeutige Abbildung von \(G\) auf eine Menge \(U\) der \(u, v\)- Ebene; dann ist fast überall in \(G\) (nämlich dort, wo \(f (x, y)\) und \(g(x, y)\) zugleich total differentiierbar sind) das Vergrößerungsserhältnis der Abbildung gleich dem absoluten Betrag der Funktionaldeterminante. -- Mit Hilfe dieses Satzes wird dann die schon in der Dissertation des Verf. (F. d. M. 46, 392 (JFM 46.0392.*), 1916) gewonnene allgemeine Form des Satzes von der Transformation der Doppelintegrale neu bewiesen und zwar in wesentlich einfacherer und durchsichtigerer Weise als früher und außerdem insofern noch etwas allgemeiner, als die Lipschitzsche Bedingung für die Transformationsfunktionen durch die hier benutzte erweiterte Lipschitzsche Bedingung ersetzt wird. Der 2. Teil der Arbeit knüpft an den zuerst erwähnten Satz über totale Differentiierbarkeit an, der geometrisch formuliert besagt, daß\ unter der angegebenen Bedingung die Fläche \(z = f (x, y)\) fast überall in \(G\) eine Tangentialebene besitzt. Auf Grund dieses Ergebnisses kann man die elementare Definition des Flächeninhalts, die man sonst für Flächen mit stetig sich ändernder Tangentialebene gibt, auf die Flächen \(z = f (x, y)\) ausdehnen, bei denen \(f\) der (gewöhnlichen) Lipschitzschen Bedingung genügt. Das Entsprechende wird ausgeführt für die in der Gaußschen Parameterdarstellung gegebenen Flächen, wenn die Parameterfunktionen der Lipschitzschen Bedingung genügen. Für den elementar definierten Flächeninhalt \(I\) ergibt sich auch hier: \(I = \iint \sqrt {EG-F^2}du dv.\) (Letzteres berührt sich mit einer Untersuchung von W. H. Young [Lond. R. S. Proc. (A) 96, 71-81, 1919], der aber nicht wie der Verf. einen einfachen, sondern einen doppelten Grenzübergang zur Definition von \(I\) benutzt).