Sur la convergence en moyenne de séries de Fourier. (Q1465627)

Sei \(s_n(x)\) die \(n\)-te Partialsumme der Fourierreihe einer im Intervall \((0,2\pi)\) summierbaren Funktion \(f (x).\) Nach Riesz- Fischer folgt dann aus \[ (1) \quad \int_0^{2\pi}f (x)^2 dx \text{ existiert} \] die ``Konvergenz im Mittel'', d. h. die Beziehung \[ (2)\quad \int_0^{2\pi} | f(x)-s_n(x)| dx\to 0. \] Die Verf. zeigen: \S\,4. Die Umkehrung gilt nicht. \S\,1, 2. Die Voraussetzung (1) kann nicht weggelassen werden. \S\,3. Damit die Parsevalsche Formel \[ \frac 1\pi \int_0^{2\pi} f(x)\varphi(x) dx =2a_0 \alpha_0 +\sum_{n =1}^\infty (a_n \alpha_n +b_n\beta_n) \] bei gegebenem beschränktem \(f (x)\) für jede summierbare Funktion \(\varphi (x)\) gilt, ist notwendig und hinreichend, daß\ \(| s_n(x)|\) unter einer festen Schranke liegt.