Über trigonometrische und harmonische Polynome. (Q1465644)

Die Polynome \[ \varphi_0(z) =1, \;\varphi_n(z) = \frac {z^{n-1}(z- r)}{\sqrt{1-r^2}}\;(n\geqq 1), \] wobei \(0 \leqq r < 1\) ist, lassen sich, \[ p_0(\theta, r) = \frac {1-r^2}{1-2r \cos\theta +r^2} \] gesetzt, durch die Orthogonalitätseigenschaft \[ \frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} p(\vartheta, r) \varphi_m (z)\overline{\varphi_n(z)} d\vartheta =\varepsilon_{mn}(z =e^{i\theta}) \] charakterisieren und stellen als solche eine Verallgemeinerung der Polynome \(1, z, z^2, \dots\) dar. Dieser Gedanke wird hier angewendet, um gewisse Ungleichungen von Fejér über trigonometrische Polynome (J. für Math. 146, 53; F. d. M. 45, 406 (JFM 45.0406.*), 1914-15) zu verallgemeinern. Die wichtigsten Ergebnisse sind die folgenden: Es sei \(\varphi (\theta) \geqq 0\) ein nichtnegatives trigonometrisches Polynom \(n\)-ter Ordnung und \[ \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} p(\theta, r) \varphi(\theta)d\theta =1. \] Dann ist für jedes \(\theta\) \[ p(\theta, r) \varphi (\theta) \leqq n + \frac {1 +r}{1-r}. \] Ferner \[ - \frac{1-r^n}{2} \leqq \frac {1}{2\pi}\int_0^{2\pi} p(\theta, r)\varphi(\theta) \cos n\theta d\theta \leqq \frac{1 +r^n}{2}. \] Daraus folgen Sätze über beliebige trigonometrische und harmonische Polynome, außerdem der folgende Satz: Es sei \(\varphi (\theta, r)\) ein harmonisches Polynom \(n\)-ter Ordnung und \(\varphi (\theta, r) \geqq 0\) für \(r \leqq 1.\) Dann ist \[ \left| \varphi\left(\theta, \frac 1r\right)\right| \leqq \frac{\varphi(\theta, r)}{r^n} \;(0<r<1, \;0\leqq \theta\leqq 2\pi). \] Hieraus schließt man: Ist \(\varphi (\theta, r)\) ein beliebiges harmonisches Polynom \(n\)-ter Ordnung und \[ |\varphi (\theta, r)|\leqq 1 \;(r\leqq 1,0\leqq \theta \leqq 2\pi), \] dann ist \[ |\varphi (\theta, R)|\leqq R^2 \;(R>1,0\leqq \theta \leqq 2\pi). \] Als Anwendung wird ein S. Bernsteinscher Satz (vgl. F. d. M. 45, 404 (JFM 45.0404.*), 1914-15), allerdings nicht mit der genauen Konstante 1, sondern anstatt 1 mit \( \frac {2e}{\pi}\) hergeleitet.