Über das Schwarzsehe Lemma und einige damit zusammenhängende Ungleichheitsbeziehungen der Potentialtheorie und Funktionentheorie. (Q1465664)

Ist eine Funktion \(f (z)\) im Einheitskreise \(| z| < 1\) regulär und absolut beschränkt mit der Schranke 1, ferner \(f (0) = 0,\) so liefert das Schwarzsche Lemma für den kleineren Kreis \(| z|\leqq \varrho < 1\) die genauere Schranke \(| f (z)|\leqq \varrho.\) Mittels konformer Abbildung werden hierauf folgende Fälle zurückgeführt und dadurch verschiedene, z. T. schon in der Literatur sich vorfindende Ergebnisse auf einheitlichem Wege gewonnen: 1. es ist nicht mehr notwendig \(f (0) = 0\) (erweitertes Schwarzsches Lemma), 2. es ist \(f (0) = 0\) und der reelle Teil \(u\) von \(f (z) = u + iv\) in \(| z| < 1\) nach oben beschränkt, gesucht sind obere und untere Schranken für \(u\) und \(v\) in \(| z|\leqq \varrho,\) 3. \(u\) ist positiv in \(| z| < 1,\) gesucht sind obere und untere Schranken für \(u\) und \(v\) in \(| z|\leqq \varrho\) (Harnacksche Abschätzung positiver Potentiale), 4. es ist \(f (0) = 0\) und \(| u|\) beschränkt, gesucht sind Schranken für \(| u|\) und \(| v|\) in \(| z|\leqq \varrho\) (Schwarzsche Arcustangensformel), 5. es ist \(f (0) = 0\) und \(u\) durch die Urgleichungen \(- a_2 < u < a_1\) nach oben und unten beschränkt, gesucht sind obere und untere Schranken für \(u\) und \(v\) in \(| z|\leqq \varrho,\) 6. es ist \(f (0) = 0\) und die Schwankung von \(u\) in \(| z| < 1\) vorgegeben, gesucht sind Schranken für \(| u|, | v|\) und für die Schwankungen von \(u\) und \(v\) in \(| z|\leqq \varrho\) (Formel von C. Neumann; hierbei ein Irrtum). Anschließend Untersuchungen über absoluten Betrag und Arcus und geometrische Veranschaulichung des Charakters der Abbildung durch die Extremalfunktionen, bei welchen die gefundenen Schranken erreicht werden. (IV 13.)