Über einen Satz des Herrn Carathéodory. (Q1465668)

Es handelt sich um den folgenden Satz: Sind \(c_1, c_2, \ldots, c_n\) beliebige komplexe Zahlen, dann lassen sich immer solche \(\lambda_\nu \ge 0\), \(|\varepsilon_\nu| = 1\) \((\nu = 1, 2, \dots, n)\) angeben, daß \[ c_k =\sum_{\nu =1}^n \lambda_\nu \varepsilon_\nu^k\;\quad (k =1,2,\ldots, n) \] ist. Der hier angegebene Beweis stützt sich auf die Betrachtung des Minimums \(\mu_\nu\) des \(\nu\)-ten Abschnitts \((\nu = 0,1, \ldots, n)\) der Form \[ K(x_0, x_1, \dots, x_n) =\sum_{p, q =0}^n c_{p-q}x_px_q\quad (c_{-k} = c_k, \ c_0 =0) \] unter der Nebenbedingung \(| x_0|^2+| x_1|^2+\cdots +| x_\nu|^2 = 1\). Es ist \(\mu \le \mu_{n-1}\le \cdots\); es wird insbesondere dasjenige \(\mu_m\) betrachtet, bei dem in dieser Folge zum erstenmal ein tatsächliches Wachsen eintritt, d. h. \(\mu_{m-1} > \mu_m =\mu_n\) \((1 \le m \le n)\). Für das Polynom \[ \gamma (z) =x_0 + x_1 z + \cdots + x_m z^m, \] für welches das Minimum \(\mu_m\) erreicht wird, gilt eine in Integralform besondere einfach darstellbare Orthogonalitätseigenschaft, welche die Zurückführung der ganzen Fragestellung auf die Fälle \(n =1\) bzw. \(n = 2\) unmittelbar gestattet. Diese Fälle lassen sich durch direkte Rechnung erledigen. Im allgemeinen ergeben sich die Zahlen \(\varepsilon_\nu\) \((\nu =1, 2, \ldots, m)\) als die Wurzeln von \(\gamma (z)\), die übrigens alle voneinander verschieden und absolut gleich 1 sind, während \(\lambda_\nu\) gleich dem Wert der Form \[ K(x_0, x_1,\dots,x_{m-1}) -\mu_0 (| x_0|^2 +| x_1|^2+ \cdots + | x_{m-1}|^2) \] ist für \[ x_0 +x_1z +\cdots +x_{m-1}z^{m-1} = \frac {1}{\gamma'(\varepsilon_\nu)} \frac{\gamma(z)}{z- \varepsilon_\nu}\quad (\nu =1,2,\dots,m). \] Die anderen \(\lambda_\nu (\nu > m)\) sind gleich Null zu setzen. Es sei bemerkt, daß die letzten Polynome nichts anderes sind, als die Grundpolynome der gewöhnlichen Lagrangeschen Interpolation mit den Interpolationsstellen \(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_m\).