Über Potenzreihen, deren Koeffizienten zahlentheoretische Funktionen sind. (Q1465679)

Im Anschluß\ an eine Vermutung von G. Pólya. wonach jede Potenzreihe mit ganzzahligen Koeffizienten, deren Konvergenzkreis der Einheitskreis ist, nicht über denselben hinaus fortsetzbar ist (abgesehen vom Fall der rationalen Funktionen), eine Vermutung, die seitdem durch \textit{F. Carlson} vollständig bewiesen worden ist [Math. Z. 9, 1--13 (1921; JFM 48.1208.02)], wird hier die Eigenschaft der Nichtfortsetzbarkeit für eine Anzahl von Potenzreihen festgestellt, deren Koeffizienten bekannte zahlentheoretische Funktionen sind. Z. B. für \(\sum_n z^{p_n}\) \((p_n\) die \(n\)-te Primzahl), \(\sum_n \Lambda(n)z^n\), \(\sum_n\sigma(n)z^n\), \(\sum_n \tau(n) z^n\), \(\sum_n\varphi(n)z^n\), \(\sum_n \mu(n) z^n\) usw. Die Methode beruht auf einem Fekete-Hardyschen Satz [\textit{M. Fekete}, C. R. 150, 1033--1036 (1910; JFM 41.0294.01)] and \textit{G. H. Hardy} [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 8, 277--294 (1910; JFM 41.0291.02)], welcher besagt: Wenn die Dirichletsche Reihe \[ \gamma(s)\sum_{n =1}^\infty \frac{\alpha_n}{n^s} \] eine endliche Konvergenzabszisse hat, und die (für \(| z| < 1\) notwendig reguläre) Funktion \[ \varphi(z) =\sum_{n =1}^\infty \alpha_n z^n \] für \(z = 1\) regulär ist, so ist \(\gamma (s)\) eine ganze Funktion. Wäre also die Potenzreihe \[ f(z) = a_1z + a_2z^2 + \cdots +a_nz^n + \cdots \] über \(z = \varepsilon\) hinaus fortsetzbar, wo \(\varepsilon\) eine \(k\)-te Einheitswurzel ist \((k\) prim), so müßte \[ g(s) =\sum_{n =1}^\infty \frac{a_n \varepsilon^n}{n^s} \] eine ganze Funktion sein, In den obigen besonderen Fällen läßt sich aber \(g(s)\) ohne Mühe berechnen, und es zeigt sich, daß es an gewissen Stellen der \(s\)-Ebene Pole besitzt.