Abel's theorem and its converse. (Q1465681)

Wieder legt dies ungewöhnliche Forscherpaar eine Arbeit vor, deren besonderem Reiz sich niemand wird entziehen können: Ein Problem -- der Abelsche Grenzwertsatz und seine Umkehrungen --, das seit 25 Jahren in der mannigfachsten Weise behandelt worden ist, wird zum ersten Male, man möchte sagen: vollständig erledigt. Anlage und Inhalt der Arbeit sind diese: Es liegt eine Reihe \(A \equiv \sum a_n\) und die zugehörige Potenzreihe \(f (x) =\sum a_n x^n\) vor, deren Radius = 1 sein soll. Es soll dann ganz kurz bedeuten: \(K:\) die Reihe \(A\) ist konvergent; \(L: f(x)\) hat einen Grenzwert für \(x \to +1\) längs eines Weges \(C\) (s. u.); \(O: (na_n)\) ist beschränkt; \(o: na_n \to 0.\) Irgendeine nicht aus dem Einheitskreis \(E\) hinaustretende Kurve \(C,\) die in +1 endet, soll dann ein ``Weg'' heißen; und zwar ``innerer'' Weg, falls er bis auf den Endpunkt im Innern von \(E\) liegt, ``Stolzscher'' Weg, falls er ganz zwischen zwei von + 1 ausgehenden Sehnen von \(E\) liegt. Ein Weg wird überdies als ``regulär'' bezeichnet, falls er, außer in +1, eine sich stetig drehende Tangente hat und mit einer bestimmten Richtung in + 1 mündet. Dann sind von früher her die folgenden Sätze bekannt: 1. Aus \(K\) folgt \(L,\) wenn \(C\) irgendein Stolzscher Weg ist (Abel, Stolz). 2. Aus \(K\) folgt \textit{nicht} \(L,\) für \textit{jeden} regulären Weg (Hardy-Littlewood). 3. Aus \(L\) und \(o\) folgt \(K,\) wenn \(C\) irgendein Stolzscher Weg (Tauber, Landau). 4. Aus \(L\) und \(O\) folgt \(K,\) wenn \(C\) der Radius \(0\dots 1\) ist; und es gibt keine mit \(n\) gegen \(\to \infty\) wachsende Funktion \(\varphi (n),\) so daß\ aus \(L\) und \(na_n = 0 (\varphi (n))\) auch schon \(K\) folgte (Littlewood). Hier blieb zunächst die Frage, ob bei 3. und 4. die Beschränkungen für \(C\) ganz oder teilweis aufgehoben werden können. In dieser Beziehung war schon bekannt: 5. Aus \(L\) und \(o\) folgt \(K,\) wenn \(C\) irgendein regulärer Weg ist (Hardy-Littlewood). -- Jetzt wird darüber hinaus bewiesen: 6. Aus \(L\) und \(O\) folgt \(K,\) wenn \(C\) ein regulärer Stolzscher Weg ist. Bei den folgenden Sätzen wird nun neben \(L\) noch eine neue Voraussetzung \(\Lambda\) benutzt: \(\Phi (x) = \frac {1}{1-x}\sum \frac {an}{n +1} (1- x^{n+1})\) hat einen Grenzwert für \(x \to + 1\) längs \(C.\) Ist \(C\) regulär, so \textit{folgt} \(\Lambda\) aus \(L,\) ist also eine weniger enge Voraussetzung. Mit ihr wird weiter bewiesen: 7. Aus \(\Lambda\) und \(O\) folgt \(R\) für jeden Weg \(C.\) Und also speziell: 8. Aus \(L\) und \(O\) folgt \(K\) für jeden regulären Weg \(C.\) Dann wird sogar bewiesen: 9. Aus \(L\) und \(O\) folgt \(K,\) wenn \(C\) irgendein Stolzscher Weg ist. Aber es gelingt den Verfassern noch nicht, sich hier von allen Beschränkungen über \(C\) zu befreien. (Das ist inzwischen -- März 1923 -- auch geschehen.) -- Von den weiteren Sätzen seien noch erwähnt: 10. Aus \(K\) und \(O\) folgt \(\Lambda\) für \textit{jeden} Weg \(C.\) 11. Für die Konvergenz einer Reihe \(A,\) die \(O\) erfüllt, ist es notwendig und hinreichend, daß\ \(\Lambda\) für irgendeinen bzw. für alle Wege \(C\) gilt. Aber 12. aus \(K\) und \(O\) folgt \(L\) noch \textit{nicht} für alle inneren Wege \(C.\) 13. Aus \(K\) allein folgt auch \(\Lambda\) nicht für alle Wege \(C.\) -- Endlich wird noch eine Reihe von Anwendungen dieser Ergebnisse auf die Theorie der Fourierreihen gegeben. (IV 3 D.)