Über die Verallgemeinerung des Tauberschen Satzes auf Doppelreihen. (Q1465683)

Der Taubersche Satz, daß\ aus \(\sum a_n x^n \to s\) (für reelle \(x \to + 1)\) zusammen mit der Bedingung \(na_n = o (1)\) die Konvergenz von \(\sum a_n\) folgt, ist von Hardy und Littlewood (F. d. M. 43, 312 (JFM 43.0312.*), 1912) auf Doppelreihen übertragen worden und lautet hier: ``Es sei \(f (x, y) =\sum a_{mn} x^m y^n\) für \(0 \leqq x < 1, 0 \leqq y < 1\) konvergent und es strebe für \(x \to 1, y \to1\) -- alle Konvergenzen und Grenzwerte im Pringsheimschen Sinne verstanden -- \(f (x, y) \to A.\) Es werde ferner \(a_{m1} + \cdots + a_{mn} = p_{mn}, a_{1n} + \cdots + a_{mn} = q_{mn}\) gesetzt, es seien die Doppelfolgen \((mp_{mn})\) und \((nq_{mn})\) gleichmäßig beschränkt und es mögen beide \(\to 0\) streben. Dann ist \(\varSigma a_{mn}\) konvergent (und \(= A).\)'' Nach dem Muster des berühmten Littlewoodschen Satzes (F. d. M. 42, 276 (JFM 42.0276.*), 1911) lag die Vermutung nahe, daß\ man hier die Voraussetzung, daß\ die genannten Folgen \(\to 0\) streben, würde fallen lassen können. Doch sagen die Verf. schon, daß\ diese Erweiterung des Satzes ``exceedingly troublesome'' sein würde. In der vorliegenden Arbeit wird diese Erweiterung -- sogar mit nur \textit{einseitiger} Beschränkung der \((mp_{mn})\) und \((nq_{mn})\) -- im Anschluß\ an die Landausche Arbeit über den Littlewoodschen Satz (F. d. M, 44, 282, 1913) durchgeführt, allerdings nur unter der weiteren Annahme, daß\ die ``rechteckigen'' Teilsummen \(s_{mn}= p_{1n} + \cdots + p{mn} = q_{m1} + \cdots + q_{mn}\) gleichmäßig beschränkt sind. Dies aus den übrigen Voraussetzungen zu folgern, ist noch nicht gelungen.