Über die Nullstellen der Dirichletschen Reihen und der Riemannschen \(\zeta\)-Funktion. (Q1465687)

Verf. skizziert in der Comptes rendus-Note (JFM 47.0282.02, wo eine Behauptung inkorrekt ist) die Beweise folgender beiden Sätze, die er in der Arkiv-Abhandlung ausführt. 1. \(N(\beta, T)\) sei die Wurzelzahl von \(\zeta (s)\) im Gebiet \(\sigma \geqq \beta, | t|\leqq T.\) Dann ist für jedes \(\delta > 0\) und jedes \(\varepsilon > 0\) \[ N( \frac 12 +\delta, T) =O(T^{1-4\delta^2 +\varepsilon}). \] Dies ist schärfer als das Wennbergsche, im vorstehenden Referat erwähnte Ergebnis und lehrt zum erstenmal, daß\ \(\sum_{\varrho} \frac {1}{| \varrho|},\) über \({\mathfrak R}(\varrho) \geqq \frac 12 + \delta\) erstreckt, konvergiert. 2. \(f (s) \sum_{n =1}^\infty a_n e^{-\lambda_n s}\) sei für \(\sigma > 0\) konvergent, \(a_1 \neq 0.\) In der sicher in einer Halbebene gültigen Entwicklung \( \frac {1}{f(s)} =\sum_{n =1}^\infty \frac {n_n}{n^s}\) sei \(k =\text{Max.}\left( 0, \overline \lim \frac{\log | b_n|}{\log n}\right), N(\beta, T)\) sei entsprechend zum obigen erklärt. Dann ist für \(\delta > 0, \varepsilon > 0\) \[ N( \frac 12 +k +\delta, T) =O(T^{\text{Max.}(1-2\delta, 1- 4\delta (k +\delta)) +\varepsilon}). \] Die Methode ist eine Verfeinerung der Bohr-Landauschen (F. d. M. 45, 716 (JFM 45.0716.*), 1914-15), die für die \(L\)-Funktionen \(o (T)\) geliefert hatte. Die damals benutzte Produktzerlegung stellt sich als unwesentlich heraus; daher die Ausdehnung auf den allgemeineren Fall.