Über die Nichtfortsetzbarkeit einiger durch Dirichletsche Reihen definierter Funktionen. (Q1465696)

Es handelt sich um die für \(\sigma > 1\) durch \[ P(s) =\sum_{p} \frac {1}{p^s},\;Q(s) =-P'(s) =\sum_{p} \frac {\log p}{p^s} \] erklärten analytischen Funktionen. Landau hatte bereits 1907 einen Beweis veröffentlicht, der die Nichtfortsetzbarkeit beider Reihen über die imaginäre Achse \(\sigma = 0\) unter der Annahme der Riemannschen Vermutung ergab. Die Verf. führen jetzt den Beweis ohne diese Voraussetzung (jeder Punkt von \(\sigma = 0\) ist Häufungspunkt von Polen mit \(\sigma > 0\) der Funktion \(Q(s)\)), und geben auch die Analoga im Gebiete der Dirichletschen Charakterreihen und der Dedekindschen Zetafunktion. d. h. bei \[ P(s, \chi) =\sum_p \frac{\chi (p)}{p^s} \text{ bzw. }P(s) =\sum_{{\mathfrak p}} \frac {1}{N{\mathfrak p}^s}. \]