Über Dirichletsche Reihen und algebraische Differentialgleichungen. (Q1465708)

Von den tief reichenden und doch mit sehr einfachen Mitteln arbeitenden Untersuchungen des Verf., deren Ergebnis Bedingungen sind, unter denen eine Dirichletsche Reihe oder eine Potenzreihe einer algebraischen Differentialgleichung genügen, kann hier vielleicht am besten dadurch ein Begriff gegeben werden, daß\ einige einfache und leicht formulierbare Folgerungen mitgeteilt werden, die der Verf. aus seinen allgemeinen Sätzen zieht: Die Dirichletsche Reihe \[ \sum a_n e^{-\lambda_ns} \] kann höchstens dann einer algebraischen Differentialgleichung genügen, wenn die \(\lambda_n\) sich durch eine endliche Anzahl unter ihnen linear mit ganzzahligen Koeffizienten ausdrücken lassen. Die Funktion \[ \zeta(x,s) = \frac {x}{1^s} + \frac {x^2}{2^s} + \frac{x^3}{3^s} +\cdots \] der beiden Veränderlichen \(x, s\) genügt keiner algebraischen partiellen Differentialgleichung. Bei konstantem rationalem \(s\) genügt sie als Funktion von \(x\) keiner gewöhnlichen algebraischen Differentialgleichung. Unter den unendlich vielen durch die unbestimmt gelassenen Vorzeichen der Koeffizienten sich unterscheidenden Potenzreihen \[ \sum \pm a_n x^n \] gibt es, wie auch die \(a_n\) selbst gewählt sein mögen, noch unendlich viele, die keiner algebraischen Differentialgleichung genügen. Gibt es auch nur einen Wert \(y,\) für den eine analytische Funktion \(f(x, y)\) analytisch in \(x\) bleibt und keiner gewöhnlichen algebraischen Differentialgleichung genügt, so gibt es höchstens abzählbar unendlich viele \(y,\) für die \(f (x, y)\) als Funktion von \(x\) einer algebraischen Differentialgleichung genügt. (IV 9.)