Über die Approximation gewisser Integrale durch Dirichletsche Reihen. (Q1465709)

Im ersten Teil seiner Abhandlung beweist Verf. den Satz: Es sei eine für \(t \geqq 0\) definierte, in jedem endlichen Intervall integrable Funktion \(\varphi (t)\) vorgelegt; dann läßt sich zu dieser Funktion \(\varphi (t)\) eine unendliche Folge von unendlichen monoton zunehmenden Zahlenfolgen \[ 0 =\lambda_{i, 0}<\lambda_{i, 1}<\lambda_{i,2}<\cdots<\lambda_{i,\nu}<\cdots\to \infty\;(i =1,2,3,\dots) \] mit einer Reihe von Eigenschaften angeben: Ist \(B\) ein beliebiger, .ganz im endlichen gelegener Bereich der komplexen \(x\)-Ebene, bildet man ferner das Integral \[ I(x) =\int_0^\infty \varphi(t)e^{-tx} dt, \] das eine Konvergenzhalbebene besitzen möge, und die Dirichletschen Reihen \[ D_i (x) =\sum_{\nu =0}^\infty a_{i\nu} e^{-\lambda_{i,\nu}x}, \] wo \[ a_{i\nu} =\int_{\lambda_{i,\nu}}^{\lambda_{i,\nu} +1} \varphi(t) dt \] gesetzt ist, so existiert eine Zahl \(N = N(B)\) derart, daß\ (1) \(I(x)\) und die Reihen \(D_i(x)\) für \(i \geqq A\) in jedem Punkte von \(B\) gleichzeitig konvergieren bzw. divergieren und auch gleichzeitig von einer beliebigen Ordnung \(\kappa\) summabel sind oder nicht; (2) die Funktionen \(I(x)-D_i(x)\) für \(i\geqq N\) sämtlich in \(B\) analytisch sind (d. h. auch in den Punkten von \(B,\) in denen \(I(x)\) nicht existiert); (3) gleichmäßig in jedem endlichen Bereich, in dem die Funktion \(I(x)\) regulär ist, der Grenzwert \[ \lim_{i =\infty} D_i(x) =I(x) \] existiert. Als Anwendung dieses Satzes folgert Verf. im zweiten Teil, daß\ es genügt, gewisse Eigenschaften Dirichletscher Reihen und Integrale, wie die mannigfachen Formeln für die Konvergenzabszisse, die Umkehrungen des Abelschen Stetigkeitssatzes (Tauberscher Satz, Fatousche und Hardy- Littlewoodsche Sätze), welche man bisher für Reihen und Integrale einzeln bewiesen hat, nur für Dirichletsche Reihen zu beweisen. Anders geartete Anwendungen führen zu einer Verallgemeinerung des Lerchschen Eindeutigkeitssatzes für Integrale \(I(x)\) und endlich zu einer Aussage über das Wachstum von \(I_c(x)= \int_c^\infty \varphi (t) e^{-tx} dt.\) Besitzt nämlich \(I_c(x)\) eine Konvergenzhalbebene, so existiert eine Konstante \(b \geqq c,\) derart, daß\ (1) in jedem Winkelraume \( -\frac \pi2 + \delta < \text{arc} x < \frac \pi2 - \delta\) gleichmäßig \[ \lim_{x =\infty} e^{bx} I(x) =0, \] (2) längs eines beliebigen dem unendlich fernen Punkt zustrebenden Weges des Winkelraumes für jedes positive \(\varepsilon\) \[ \lim\sup_{x =\infty}| e^{(b +\varepsilon)x} I(x)| =\infty \] wird.