Remarques sur le théorème de M. Picard. (Q1465723)

Die Arbeit nimmt ihren Ausgang von dem folgenden Satz von Landau: Wenn \(F(z)\) in \(| z| < 1\) regulär und \(\neq 0\) und \(\neq 1\) ist, wenn ferner darin \[ F(z) = a_0 +a_1z +\cdots \] gilt so ist \[ {\mathfrak R}(\log f(z))<\chi(a_0) \frac {1}{1-| z|}, \] wobei \(\chi (a_0)\) nur von \(a_0\) abhängt. Daraus zieht Valiron sofort folgenden Schluß: Wenn \(F(z)\) in \(| z|< 1\) regulär ist, wenn ferner \[ \lim\sup_{r\to 1} (1-r)\log M(r) = +\infty \] gilt, so nimmt \(F(z)\) in \(| z|<1\) jeden Wert mit höchstens einer Ausnahme mindestens einmal an. Durch konforme Abbildung kann man dann dies Ergebnis auf Winkelräume übertragen. So findet Valiron z. B. den folgenden Satz : Es sei \(z = re^{i_\varphi}\) und \(F(z)\) regulär für \(| z| > 1, |\varphi|\leqq\alpha.\) Im Inneren dieses Winkelraumes sei außerdem die Ordnung von \(F(z)\) größer als \( \frac {\pi} {2\alpha}.\) Dann nimmt \(F(z)\) in diesem Winkelraum jeden Wert mit höchstens einer Ausnahme unendlich oft an. Weiter, wenn \(f (z)\) in \(| z|< 1, |\varphi|< \alpha\) regulär ist und die Werte 0 und 1 ausläßt, wenn ferner \(a_n\) die der Größe nach geordneten Nullstellen von \(f (z) - a\) in diesem Winkelraum sind, so ist \(\sum | a_n|^{ \frac \pi\alpha} \) konvergent. Endlich, wenn \(F(z)\) in \(| z|> 1\) regulär, im Unendlichen wesentlich singulär und von einer Ordnung \(\varrho > \frac 12\) ist, so nimmt \(F(z)\) in jedem Winkelraum von der Öffnung \( \frac {\pi} {\varrho_1} ( \frac 12 < \varrho_1 < \varrho),\) in dessen einem Teilwinkelraum die Ordnung von \(F(z) \varrho_1\) übertrifft, jeden Wert mit höchstens einer Ausnahme unendlich oft an. Durch konforme Abbildung werden schließlich diese Ergebnisse auf spiralig statt geradlinig begrenzte Winkelräume ausgedehnt. Die Ergebnisse berühren sich eng mit den von Bieberbach in einer gleichzeitigen Arbeit (vgl. die vorigen Referate) gewonnenen.