Bemerkungen zu einer Fragestellung des Herrn Pólya. (Q1465737)

G. Pólya hat (J. für Math. 145, 224-249, 1915, Math. és termész. ért.32, 656-667, 1914; vgl. F. d. M. 45, 654 (JFM 45.0654.*), 1914- 15) folgendes bewiesen: Ist \(g(z)\) der Grenzwert von Polynomen mit nur reellen Nullstellen und folglich das Produkt einer ganzen Funktion vom Geschlechte 0 oder 1 und von \(e^{-\beta z^2},\) wobei \(\beta \geqq 0,\) ferner \(g(0) > 0\) und endlich \[ \frac {1}{g(z)} =c_0 + \frac {c_1z}{1!} + \frac {c_2z^2}{2!} + \frac{c_3z^3}{3!} +\cdots, \] so sind die Determinanten \(| c_{i +k}|_0^n\) für \(n = 0, 1, 2, \dots\) positiv. Er hat noch einen ähnlichen Satz über ganze Funktionen, die Grenzwerte von Polynornen mit lauter positiven Nullstellen sind, hinzugefügt und die Frage aufgeworfen, ob eine ganze Funktion, deren Reziproke, um den Nullpunkt entwickelt, den besagten Determinantenungleichungen genügt, notwendig eine Produktzerlegung von der angegebenen Form, also insbesondere nur reelle Nullstellen haben muß? Verf. verneint diese hinge, sogar unter der Einschränkung, daß\ \(g(z)\) ein Polynom ist, nach gründlicher Untersuchung, die den Sachverhalt vielsitig beleuchtet und u. a. folgenden Satz über Potenzreihen zutage fördert: Sind die Koeffizienten der Potenzreihe \[ c_0 + \frac{c_1z}{1!} + \frac{c_2z^2}{2!} +\cdots =f(z) \] reelle Zahlen, die den Ungleichungen \(| c_{i +k}|_0^n > 0\) für \(n = 0, 1, 2, \dots\) genügen, so ist \(f(z)\) regulär in einem gewissen Vertikalstreifen, der den Punkt \(z = 0\) im Inneren enthält, hingegen singulär in den beiden reellen Randpunkten des Vertikalstreifens.