On two theorems of F. Carlson and S. Wigert. (Q1465739)

Diese Arbeit weist einige Berührungspunkte mit der Dissertation von F. Carlson (F. d. M. 45, 645 (JFM 45.0645.*), 1914-15) auf. Zunächst werden zwei Beweise für den folgenden Carlsonschen Satz gegeben, deren erster dem von Carlson gegebenen ähnlich ist: 1. Es sei \(f(z)\) regulär im Winkelraum \(|{\text arg}z|\leqq \alpha, \alpha \geqq \frac \pi2\) und daselbst \(| f(z)|< Ae^{k| z|},\) wo \(A\) und \(k\) positive Konstanten sind, \(k <\pi.\). Wenn die Funktion \(f(z)\) für \(z = 1, 2, 3, \dots\) verschwindet, dann verschwindet sie identisch. Weiter beweist der Verf. folgenden Wigertschen Satz: 2. Die notwendige und hinreichende Bedingung, damit die Potenzreihe \[ f(z) = a_0 +a_1z + a_2z^2 + \cdots \] eine ganze Funktion von \( \frac {1}{1-z}\) darstellt, ist, daß\ eine ganze Funktion von der Ordnung 1 und vom Minimaltypus (im Pringsheimschen Sinne) existiere, für die \(a(n) =a_n, n = 1, 2, 3, \dots\) gilt. Endlich gibt der Verf. eine Verallgemeinerung von 2 wobei an Stelle einer ganzen Funktion von \( \frac {1}{1-z}\) eine solche Funktion tritt, die außerhalb der Kurve \[ \left(\log \frac 1{| z|}\right)^2 =\gamma^2-(\text{ arg }z)^2,\;0<\gamma<\pi \] mit Einschluß\ des unendlich fernen Punktes eindeutig und regulär ist. Die Bedingung lautet dann ganz ähnlich wie unter 2., mit dem Unterschied, daß\ \(a(z)\) von der Ordnung 1 und vom Typus \(\gamma \) sein muß.