Über Tschebyscheffsche Polynome. (Q1465756)

Zu jeder geschlossenen dopelpunktlosen analytischen Kurve \(C\) werden die Tschebyscheffschen Polynome \(T_n(x) (n =1, 2, 3, \dots)\) folgendermaßen erklärt: \(T_n(x)\) ist vom \(n\)-ten Grade, hat den höchsten Koeffizienten 1 und besitzt unter allen Polynomen dieser Art das kleinstmögliche absolute Maximum auf \(C.\) Der Verf. untersucht insbesondere die asymptotischen Eigenschaften der \(T_n(x)\) fair große Werte von \(n.\) (Ihre Existenz und Eindeutigkeit folgt aus allgemeineren Sätzen über Tschebyscheffsche Approximation.) Bezeichnet \[ x =\psi(t) = \frac 1t +a_0 +a_1t +a_2t^2 +\cdots \] die Funktion, welche das Äußere von \(C\) auf das Kreisinnere \(| t| < r\) schlicht abbildet (\(r\) ist durch \(C\) eindeutig bestimmt: die sog. Abbildungskonstante), so wird außerhalb von \(C\) die Limesbeziehung \[ \lim_{n =\infty} t^nT_n(x) = 0 \] bewiesen, die sogar gleichmäßig gilt in jedem abgeschlossenen (event. \(x =\infty\) enthaltenden) Bereiche außerhalb von \(C.\) Außerdem gilt für die Zahlen \(g_n = \text{Max} | T_n(x)|\) auf \(C:\) \[ \lim_{n =\infty}r^n g_n =1. \] Das Haupthilfsmittel bei dem Beweis dieser Sätze bildet der vom Verf. in einer früheren Arbeit (Math. Ann. 57, 389; F. d. M. 34, 430 (JFM 34.0430.*), 1903) eingeführte Polynomtypus, dessen Zusammenhang mit der Abbildungsfunktion auf der Hand liegt. Es wird weiter das interessante Resultat bewiesen, daß\ für alle diejenigen Ellipsen, welche die Brennpunkto -1 und 1 haben, die Tschebyscheffschen Polynome die nämlichen sind, wie für das reelle Intervall (Grenzfall), d. i. \( \frac {1}{2^{n-1}} \cos n\) arc cos \(x.\) Außerdem untersucht der Verf. Entwicklungen nach Tschebyscheffschen Polynomen, die Nullstellen von \(T_n(x)\) und ihrer Ableitungen für große Werte von \(n\) und die Interpolation an diesen Nullstellen. Endlich werden andere Polynome, die sich durch ähnliche Extremumeigenschaften wie die \(T_n(x)\) definieren lassen, untersucht; außerdem wird auf die Beziehung zur konformen Abbildung, insbesondere was den Fundamentalsatz (Existenzsatz) der Theorie der konformen Abbildung schlichter Bereiche betrifft, näher eingegangen.