Asymptotic formulae for oscillating Dirichlet's integrals and coefficients of power series. (Q1465759)

Hardy (Quart. J. 44,1, 242; F. d. M. 43, 364 (JFM 43.0364.*), 1912; 44, 349, 1913) hat das Verhalten des Integrals \(S(\lambda) =\int_0^\xi \varrho (x) e^{i\sigma (x)} \frac {\sin \lambda x}x dx, \xi>0\) für \(\lambda \to \infty\) untersucht, wo \(\varrho (x), \sigma (x)\) logarithmisch-exponentielle Funktionen bedeuten und: \(\sigma (x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) . Verf. betrachtet \(S(\lambda)\) und das verwandte Integral \(C(\lambda ) =\int_0^\xi \varrho (x) e^{i\sigma (x)} \frac {\cos \lambda x}{x} dx\) und gibt die asymptotische Formel für \(S(\lambda ), C(\lambda )\) für \(\lambda \to \infty\) in den Fällen, wo (1) \(1 \prec \sigma (x) \prec l\left( \frac 1x\right)\), (2) \(1 \prec \sigma (x)\asymp l\left( \frac 1x\right)\), (3) \(\sigma (x) \succ l\left( \frac 1x\right)\) sind. Für den letzten Fall erweitert der Verf. den Gültigkeitsbereich der von Hardy angegebenen Formel In dem zweiten Teil benützt der Verf. diese Resultate, um das Verhalten der Koeffizienten der Potenzreihe \(f (z) = \sum a_n z^n,\) deren Konvergenzradius gleich 1, und deren einzige Singularitätsstelle auf dem Einheitskreise \(z =1\) ist, für \(n \to \infty\) zu untersuchen. Insbesondere behandelt er die Fälle, wo die Singularität der Funktion \(f (z)\) in \(z = 1\) von der Form ist: \[ f(z) = \frac {1}{(1-z)^p} e^{ \frac {A}{(1-z)^q}} \left(l_1 \frac {1}{1-z}\right)^{r_1}\left(l_2 \frac {1}{1-z}\right)^{r_2}\dots . \]