On the analytic function of \(z = x +yi\) whose modulus is a rational integral function of \(x\) and \(y\). (Q1465765)

Der Verf. errechnet zunächst den folgenden Satz: \(F(z)\) möge in einem \(z = 0\) enthaltenden Bereich eindeutig und analytisch sein. Ihr absoluter Betrag möge eine rationale ganze Funktion von \(y,\) d. i. dem imaginären Teil von \(z\) sein Dann hat dieser Betrag die Form \[ e^{ax}\sum_{r =0}^n f_r(x)y^{n-r}. \] Dabei ist \(a\) eine Konstante, \(f_r(x)\) eine ganze rationale Funktion vom Grade \(r, fn(x)\) ist genau vom Grade \(n.\) Der durch die Summe ausgedrückte Faktor ist selbst absoluter Betrag einer analytischen Funktion. Hat aber eine analytische Funktion einen ganzen rationalen absoluten Betrag, so ist sie, wie leicht sehen, selbst eine ganze rationale Funktion. Darüber hinaus vermutet der Verf. daß\ die in Betracht kommenden Funktionen alle die Form \(e^{az}\{J(z)\}^2\) hab möchten, wo \(J(z)\) ganz und rational ist. Diese Vermutung beweist er in der zweiten Arbeit.