On the distortion in conformal mapping when the second coefficient in the mapping function has an assigned value. (Q1465789)

Verf. teilt ohne Beweis einige Verschärfungen des Verzerrungssatzes mit; wenn der zweite Koeffizient \(a_2 = ae^{i\alpha}, \alpha\) reell, der für \(| z| < 1\) schlichten Funktion \(w = z + a_2z^2 + a_3z^3 +\cdots\) gegeben ist. Es ist für \(| z| \leqq r < 1\) \[ \frac{1-r^2}{(1 +ar +r^2)^2}<\left| \frac{dw}{dz}\right|, \frac {r}{1 +ar +r^2}<| w|. \] Es werden auch dio oberen Schranken bestimmt, die jedoch weit komplizierter sind, ferner die entsprechenden Größen bei konvexen Abbildungen. Sämtliche Schranken sind genau und werden nur für leicht angebbare Funktionen erreicht. Als Anwendung leitet der Verf. für die den Einheitskreis \(| z| < 1\) schlicht abbildende Funktion \[ w^*= \frac 1z +c_1z +c_2z^2 +\cdots +c_nz^n +\cdots \] durch Betrachtung von \(w = \frac {1}{w^*}\) die Abschätzungen \[ \frac 1r -r\leqq | w|\leqq \frac 1r +r, | z|\leqq r \] her, beachtet aber nicht, daß\ dieser Übergang von \(w^*\) auf \(w\) nur dann zulässig ist, wenn \(w* \neq 0.\) Seine Abschätzungen gelten also nur unter dieser Voraussetzung. (Vgl. jedoch die unten besprochene Arbeit von K. Löwner, in der gezeigt wird, daß\ die obere Abschätzung ohne diese Zusatzbedingung gilt.)