Aufstellung und Beweis des Drehungssatzes für schlichte konforme Abbildungen. (Q1465793)

Dem Koebeschen Verzerrungssatze, welcher eine Schranke für die Maßstabsänderung, d. h. für \(| f'(z)|,\) bei schlichter Abbildung des Einheitskreises durch eine Funktion \(f (z)\) gibt, wird ein Drehungssatz zur Seite gestellt, der die Richtungsänderung der Linienelemente, d. h. \(|{\mathfrak F}\log f'(z)|,\) abzuschätzen erlaubt. Z. B. ist für jede in \(| z| < 1\) reguläre und schlichte Funktion \(f(z) = z a_2z^2 + \cdots \) im Kreise \(| z| \leqq r < 1\) \[ |{\mathfrak F}\log f'(z)| < 2\log \frac {1 +r}{1-r}. \] Ist die Abbildung zudem noch konvex, so ist \[ |{\mathfrak F}\log f'(z)| \leqq 2 \text{arc sin} r \] die bestmögliche Abschätzung. Im allgemeinen Falle hingegen steht die Bestimmung der genauen Schranke noch aus; man weiß\ nur, daß\ in \(2\log \frac{1 +r}{1-r}\) der Faktor 2 durch keinen kleineren ersetzt werden kann. (Vgl. auch das nächste Ref.)