Some problems concerning spherical harmonics. (Q1465811)

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit den von zahlreichen Verfassern (Schläfli, Hobson, Baer, Nörlund) untersuchten Verallgemeinerungen der Legendreschen Funktionen erster und zweiter Art \(P_\alpha (x), Q_\alpha (x),\) die sich als Integrale der Legendreschen Differentialgleichung \[ (1-x^2) \frac {d^2y}{dx^2} -2x \frac {dy}{dx}+\alpha (\alpha +1)y=0 \] in der Form \[ \begin{aligned} P_\alpha(x)& =F\left(\alpha +1, -\alpha, 1, \frac{1- x}{2}\right),\\ Q_\alpha(x)& = \frac{\Gamma( \frac 12)\Gamma(\alpha +1)}{\Gamma(\alpha + \frac 32)} \left( \frac {1}{2x}\right)^{1 +\alpha} F\left( \frac{\alpha +1}{2}, \frac \alpha{2} +1, \alpha + \frac 32, \frac {1}{x^2}\right)\end{aligned} \] schreiben lassen und für nichtnegative ganzzahlige Werte \(\alpha = n\) die gewöhnlichen Legendreschen Funktionen ergeben. Der Hauptzweck der Arbeit ist eine ausführliche Untersuchung der Nullstellenverteilung dieser Funktionen. Ist \(\alpha\) reell, so besitzt \(P_\alpha (x)\) im ganzen \(E(\alpha +1) + E(-\alpha)\) Nullstellen, die alle reell sind und im Intervall (-1, 1) liegen. Hierbei ist nach dem Vorgange von F. KIein \(E(x)\) gleich der größten ganzen Zahl \(< x,\) für \(x > 1\) und sonst 0. Außerdem werden die Nullstellen der Ableitungen von \(P_\alpha (x),\) sowie die von anderen Zweigen von \(_\alpha (x)\) untersucht \((P_\alpha (x)\) hat für nicht ganzzahlige \(\alpha\) eine logarithmische Singularität in \(x = -1).\) Ist \({\mathfrak R}\alpha = - \frac 12,\) so besitzen \(P_\alpha(x)\) und alle ihre Ableitungen unendlich viele Nullstellen, die alle reell und größer als 1 sind. Auch die mehrdeutige Funktion \(\alpha (x),\) definiert durch \(P_\alpha(x) = 0\) wird untersucht, insbesondere für \(-1 < x < 1,\) ferner analoge Fragen bezüglich \(Q_\alpha (x).\) Weiter beschäftigt sich der Verf. mit den Orthogonalitätseigenschaften der Funktionen \(P_\alpha (x).\) Das Integral \(\int_{-1}^1 P_\alpha (x)P_\beta (x)dx\) erweist sich als eine ganze Funktion der Ordnung 1 von \(\alpha\) und \(\beta.\) Bezeichnet \(K\) eine reelle Konstante, so wird gezeigt, daß, \(\Psi (x) = \frac {\Gamma'(x+1)}{\Gamma (x +1)}\) gesetzt, die Gleichung \[ \Psi (\alpha) +\Psi (-1- \alpha) = K \] unendlich viele Wurzeln \(\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n, \dots\) besitzt, die außer einer einzigen, reell und positiv sind. Die zugehörigen Funktionen \(P_{\alpha_n}(x)\) bilden ein Orthogonalsystem in \(-1 \leqq x \leqq 1.\) Durch passende Wahl von \(K\) kann erreicht werden, daß\ eine von diesen Funktionen mit einem vorgegebenen \(P_\alpha(x)\) übereinstimmt. auf wird die Vollständigkeit der so erhaltenen Funktionensysteme untersucht, ferner auf die übliche Weise eine Integralgleichung hergeleitet, deren Eigenfunktionen \(P_{\alpha_n}(x)\) sind. Schließlich folgen Erweiterungen auf Sturm-Liouvillesche Funktionen, insbesondere auf hypergeometrische und Hermitesche Polynome.