Über Orthogonalsysteme von Polynomen. (Q1465815)

Der von dem Verf. bewiesene Hauptsatz ist folgender: Es sei \(f(x)\) für \(x \le \beta\) nicht negativ und nicht abnehmend und \[ \int_{-\infty}^\beta f(x) x^\nu \,dx \] für \(0 \le \nu \le 2n -1\) endlich, für \(\nu = 0\) positiv. Ferner sei \(A_n(x)\) ein Polynom \(n\)-ten Grades \((n\ge 1)\) und \[ A_n (\beta) =1, \quad \int_{-\infty}^\beta f (x) A_n(x) x^\nu dx = 0 \quad (0\le \nu <n). \] Dann ist \[ \left|\sqrt{ \frac{f(x)}{f(\beta)}} A_n(x)\right| \le 1\quad\text{für }x\le \beta. \] Der Verf. zeigt, wie aus diesem allgemeinen Satz einige früher von ihm gefundene sich ergeben und macht von ihm auch neue bemerkenswerte Anwendungen, z. B. beantwortet er folgende Frage: \(f(x)\) habe die obige Bedeutung, \(Q_n(x)\) sei ein Polynom \(n\)-ten Grades, für welches \[ \int_{-\infty}^\beta f(x) [Q_n(x)]^2 \,dx =1 \] ist. Was ist die genaue obere Grenze des Maximums von \(f (x) [Q_n(x)]^2\) für alle \(Q_n(x)\) und für \(x \le \beta\)?