Sur les fonctions hypertoroïdales et leur lien avec les fonctions hypersphériques. (Q1465841)

Verf. setzt \[ \begin{aligned} x& = \frac{u\text{sh}\sigma}{\text{ch}\sigma-\cos\theta},\;y = \frac{v\text{sh}\sigma}{\text{ch}\sigma-\cos\theta},\\ z& =\sqrt{1-u^2-v^2} \frac{\text{sh}\sigma}{\text{ch}\sigma- \cos\theta},\;t = \frac{\sin \theta}{\text{ch}\sigma- \cos\theta}\end{aligned} \] und findet folgende speziellen Lösungen der transformierten Laplaceschen Gleichung: \[ (\text{ch} \sigma-\cos\theta)f_1(\theta)f_2(\sigma)F(u,v); \] hier ist \(f_1(\theta) = \cos \mu \theta, \mu\) konstant, \(f_2(\sigma)\) ausdrückbar durch die sogen. Gegenbauerschen Polynome und \[ F(u, v) = {\mathfrak B}_{m,n}(u, v), \] wobei \[ (1 -x^2- y^2)^ {\frac 12}[(1-ax -by)^2 + (a^2 +b^2) (1-x^2- y^2)]^{-1} =\sum_m \sum_n a^m b^n {\mathfrak B}_{m,n} (x, y) \] ist. Verallgemeinerung auf höhere Räume. Die zweite Note enthält ähnliches bei der Transformation \[ \begin{matrix} &x = \frac{\text{sh}\sigma\cos\psi}{\text{ch}\sigma- \cos\theta},\;&y =- \frac{\sin\theta\cos\varphi}{\text{ch}\sigma-\cos\theta},\\ &z = \frac{\sin \theta \sin\varphi }{\text{ch}\sigma- \cos\theta},\;&y =- \frac{\text{sh} \sigma \sin \psi }{\text{ch}\sigma-\cos\theta}.\end{matrix} \] Eine Lösung wird dann in der Form \[ (\text{ch}\sigma-\cos\theta)\text{sh}^\mu \sigma\sin^\nu\theta\cos \mu\psi\cos\nu\varphi F(\sigma, \vartheta) \] angegeben, wobei \(F\) in naher Beziehung zu den Hermiteschen Polynomen \(V_{m,n}(z, y)\) steht, definiert durch die Gleichung \[ (1-2ax-2by +a^2 +b^2)^{-1} =\sum_m\sum_na^mb^n V_{m,n}(x,y); \] \(\mu, nu\) bedeuten Konstanten. (IV 13.)